マクスウェル分布

質問

マックスウェル分布についてわからないことがありましたので、質問させていただきます。
マックスウェルの速度分布関数は0のところにピークがあるのに、速さの分布関数は0でないのはどうしてでしょうか。

具体的には
速度分布関数　f(vx,vy,vz)=A*exp[-B*v^2]
速さ分布関数　F(vx,vy,vz)=C*v^2*exp[-B*v^2]
（A,Bは温度,質量,密度を固定したとき定数なのでこう書きました）
速度分布関数はvx=vy=yz=0で最大値をとるが、速さ分布関数の方はvx=vy=yz=0では0でvが正のところにピークを持ちます。
この違いが全く理解できません。

速度分布関数がvx=vy=yz=0でピークを持つなら速さ分布関数もv=0でピークを持たなければならないのではいけないのかと思ってしまいます。

ご回答くださると大変助かります。

回答No.12

M_Linda

はじめまして。
私も同じ内容で悩んでいます。

皆さんの回答を見て、
速さ分布関数の方は納得できたのですが、速度分布関数が
v=0で最大になることがどうしても納得できません。
vが小さいほど大きくなるのは分かるのですが、v=0では0という
不連続関数になるべきではないかと思うのですが。

回答No.11

yyicp

＃５です．今週一週間出張に行っていて議論に参加できませんでした．すいません．

遅ればせながら，私も速度分布関数と速さ分布関数の理解を深めることができました．特に＃６の回答がとてもしっくりきます．ありがとうございました．

お礼

いえ、参加して下さってありがとうございました。
皆さんの意見を聞き、いろいろな角度から考えられ、理解が自分のものになった気がします。

ありがとうございました。

また、他の質問をしたときはコメントくださると幸いです。

回答No.10

Mr_Holland

＃９です。
　補足を拝見しました。
　なるほど、そういうことでしたか。それなら理解は一致していますね。
　私は、次の式を参照しましたので。粒子密度をかける分布もあるのですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E5%88%86%E5%B8%83

補足

理解が間違っていなくて安心しました。

速度分布関数を直観的にイメージできましたので、これなら応用も効きそうです。

ありがとうございました

回答No.9

Mr_Holland

＃７です。
　補足を拝見しました。ご理解に役立っているようで嬉しく思います。

＞あとご指摘の点ですが、
＞私の持っている教科書では2冊とも速度分布関数は粒子密度nで規格化されていました。
＞なので、f(vx,vy,vz)dvxdvydvz　で単位体積あたりの粒子数となるかと思います。
＞割合であれば1で規格化されていますよね。nがfに含むか含まないかということですが。　どうでしょうか、私何か勘違いして理解していますでしょうか。

　f(vx,vy,vz)dvxdvydvzを全速度空間で積分してもらえれば分かりますが、結果は1になるはずです。

　速度分布関数　f(vx,vy,vz)=(a/√π)^3*exp[-a^2*v^2] 　ただし、a=√{m/(2kT)}、m:分子の質量、k:ボルツマン定数、T:温度)
　　∫f(vx,vy,vz)dvxdvydvz＝{2*a/√π*√π/2a}^3＝１
　速さ分布関数　F(vx,vy,vz)=(a/√π)^3*4πv^2*exp[-a^2*v^2]
　　∫F(vx,vy,vz)dvxdvydvz＝4π(a/√π)^3*√π/(4a^3)＝１

　つまり、f(vx,vy,vz)やF(vx,vy,vz)は確率密度を表しているだけで、粒子数は加味されていません。
　したがって、＃７でも書きましたが、f(vx,vy,vz)dvxdvydvz　は「単位体積あたりの粒子数となる」とはなく、微小速度空間(vx,vy,vz)～(vx+dvx.vy+dvy,vz+dvz)の間に存在する、粒子の割合なのです。
　お分かりだと思いますが、「割合であれば1で規格化されていますよね。」とありますが、f(vx,vy,vz)は全体で1になるように規格化されているという意味です。（１で割っているという意味ではありません。）（お使いの教科書の粒子密度ｎで規格化したときに、粒子数のオーダが消えたと思います。）
　このときに、全体の粒子数が消されてしまっているので、ある速度領域での粒子数を求めるときには、全体の粒子数を掛け戻さなければなりません。

補足

多分Hollandさんと私の理解は同じなのかな、と思いました。
私が実際の関数形を出さなかったのでうまく伝わりませんでしたね。
私が話していた速度分布関数は

f(vx,vy,vz)=n*(a/√π)^3*exp[-a^2*v^2] 　ただし、n:粒子の密度、a=√{m/(2kT)}、m:分子の質量、k:ボルツマン定数、T:温度)

で、hollandさんが示して下さった式にnをかけたものでした。
ちなみに教科書は　プラズマ理工学入門　高村秀一、プラズマ入門　川田重夫、　物理学辞典　培風館　です。

したがってnで規格化といっていたのは∫f(vx,vy,vz)dvxdvydvz=n ということです。
従ってf(vx,vy,vz)dvxdvydvz で単位体積あたりの粒子数のうち速度がvx+dvx,vy+dvy,vz+dvz に含まれる粒子の数が出るのかと理解しています。

確かにHollandさんの式ではn（密度）もしくはN（粒子数）をかける必要がありますよね。

何か勘違いしていたらすみません。　細かいことでもよろしいので、コメントくださると助かります。

回答No.8

masudaya

例えば,1次元で考えた場合(何次元でも同じですが),気体の速度による分布関数は感覚的にGauss分布に従うように思います.となると速度0(:気体自体の平均速度)がどうしても一番多い確率密度を持つことになると思います.
このことは,
1)この分布関数は,速度について対称である．
　(正の速度と負の速度で,分布は等しいはず)
2)速度が上がれば,確率密度は減少する.
(内部エネルギーは有限なので,分布全体を積分した
ときに有限になる必要があるため)
などの分布関数の性質から理解できるのではないでしょうか.
この気体にエネルギーを与えると,速度の平均値は変わらず0ですが,この気体の分散が大きくなり,グラフの形として分布が広がった様になります.

うまく答えているか疑問ですが.

補足

皆様のコメントを参考に速度分布関数について多分理解できたと思います。

No6の補足に理解したことを皆様に伝わるように書いたつもりですので、お読みになってコメントくださると大変嬉しいです。

回答No.7

Mr_Holland

＃６です。
　補足の例は、とても分かりやすいですね。
　私も同じようにイメージしています。
　ただし、1点だけ。

＞当たり前ですがf(vx,vy,vz)dvxdvydvzすなわち速度分布関数に速度空間の体積をかけて粒子数になります。

　f(vx,vy,vz)dvxdvydvzは、速度空間全体の中で、速度(vx,vy,vz)～(vx+dvx.vy+dvy,vz+dvz)の間に存在する粒子の割合（密度分布)を表していますので、この微小空間の粒子数を求めるには、全体の粒子数Nを掛けて、N×f(vx,vy,vz)dvxdvydvzと求めなければなりません。

　参考になれば幸いです。

補足

速度分布関数がほぼ完全に理解できた感じがします。　感覚的につかめました。　やはり、ここまで理解しないとすぐわからなくなってしまいますよね。

あとご指摘の点ですが、
私の持っている教科書では2冊とも速度分布関数は粒子密度nで規格化されていました。
なので、f(vx,vy,vz)dvxdvydvz　で単位体積あたりの粒子数となるかと思います。
割合であれば1で規格化されていますよね。nがfに含むか含まないかということですが。　どうでしょうか、私何か勘違いして理解していますでしょうか。

ご指摘・意見　ちょっとした疑問など何でもよろしいので他の今これをご覧になっている方もお気軽にコメントお寄せください。

いろいろと議論しまして非常に頭の中が整理されました。

回答No.6

Mr_Holland

＃２です。
　補足を拝見しました。

＞しかし、数式では理解したのですが、直感的に理解ができません。
＞速度分布関数ではvx,vy,vz共に0のところが一番粒子密度が高いのに、速さが0(x^2+vy^2+vz^2=0)の粒子がいないとはどういう風に理解すればよいのでしょうか。

　私は次のように理解しています。
　速さが０の粒子がないのではなく、他の速さの粒子の個数と比べると圧倒的に少ないので、０とみなせるのだと。
　速さが０となるような(vx,vy,vz)の組み合わせは1通りしかありませんが、速さがv1(>0)となるような組み合わせは無限に存在し、速さがv2(>0)となるような組み合わせとの間には、v1^2：v2^2という関係が成り立ちます。
　そのため、速さが０となる分布が０でなかったとしても、それに比べて他の速さの分布は無限に大きいので、相対的に速さ０の分布は限りなく０に近くなるのだと考えています。

補足

したのANo5の補足にも書きましたが、ここ数日皆様のコメントを踏まえて考えた結果、いろいろとわかってきました。

速度分布関数は速度空間における粒子の密度を表していました、それを密度だから粒子の数のように考えればよいだろう、と思ってそのまま議論を進めていたのが私の間違いでした。

粒子の密度はあくまで密度で、実際の粒子数ではありませんよね。
当たり前ですがf(vx,vy,vz)dvxdvydvzすなわち速度分布関数に速度空間の体積をかけて粒子数になります。

3次元だとわかりづらいので2次元で考えます。
さらに速度分布関数⇒人口密度の関数という風にかえてお話します。
人口密度がいくら高くても面積が超小さければ住んでいる人は実質的にはかなり少なくなります。
原点からある距離の範囲内（rからr+Δr)に住んでる人を考えると、
原点付近は密度はかなり高いですが、面積がかなり小さく、結果として人はほとんど住んでいません。それに対して原点から離れたところでは人口密度が低くはなりますが、面積（2πr×Δr)が距離に比例して増えるので、面積の増加率よりも人口密度の減少率が小さい領域では人口は増加します。
（マックスウェル分布は原点で極大値をとるので傾きは0。そこから徐々にマイナス側に増えていきます。したがっていまの例で言うrが小さいときは　　0＜（人口密度の減少の傾き）＜-1　　で、面積の増加の効果が勝る）
そして、その増加率・減少率が同じになるrで人口は最大となり、その後は面積が増えても人口密度の減少がそれよりも大きいので人口も減少することとなります。

このようにして”速度分布関数”と”速さ分布関数”の関係と理解しました。
私の理解が伝わったでしょうか。　ちゃんと理解している方には当たり前のことを長々書いて申し訳ありませんが、内容を正確に伝えたかったので、このような形になりました。

間違い・コメント何でもかまいませんのでアドバイスくださると大変助かります。

回答No.5

yyicp

あまり自信がありませんが，私も興味があるのでディスカッションに参加したいと思います．

速さが0ということは(vx,vy,vz)=(0,0,0)の組み合わせしかありませんが，例えば速さが1の場合は，(vx,vy,vz)の組み合わせが非常にたくさんあるということですよね．だから，粒子の数としては，速さが0のものは速さが1のものより圧倒的に少ないとまず予想されます．

では，なぜ速さの分布関数は，v=0のとき0になってしまうのか．ほんのちょっとでも粒子があるなら0ではないじゃないか，というのが質問者さんの疑問だと思います．

速度分布関数の定義は，ある位置(x,y,z)にある粒子が，速度成分(vx,vy,vz)を持つ確率がfx*fy*fz*dvx*dvy*dvzだということだったと思います．fxfyfz自体が確率ではないので，(vx,vy,vz)=(0,0,0)という一点にある粒子の確率自体を表していないのではないかと思います．

速度分布関数は，速度空間上での微小体積をもって定義されるので，その値はその微小体積内の粒子についてある意味平均されているのではないかと想像しました．（例えば原点の周りの微小体積内について，粒子がそこに100個あったら，その100個について速度の平均は(0,0,0)だが，速さの平均は0にはならない．）その結果，確率分布である速度分布関数の値は0になっても，速さの分布関数の値は0にならないのではないでしょうか．

補足

議論に参加して下さって大変ありがたく思います。

私の理解とyyicpさんの理解を統一したいと思いますので、私の理解をまず話しますね。上のANo.6の補足もご覧になってください。

速度分布関数は確率という考えでもよいのですが、通常全部を積分すると粒子密度nになるように規格化してあります。（確率ならば1で規格化）。粒子密度はつまり単位体積当たりの粒子数なので、私はf(vx,vy,vz)dvxdvydvz は dvxdvydvzという速度空間における体積に含まれる粒子数になると理解しております。

おっしゃるとおり、f(vx,vy,vz)が粒子数を表していませんでした。粒子数でなく、密度を表していました。ここが私にとって落とし穴になっていました。

内容が重複して話がわかりづらくなってはいけませんので、上のANo.6の補足に考えたことを書きますので、お読みになって、またコメントくださると助かります。

アドバイスくださったお陰で理解が深まりました。

回答No.4

masudaya

多分それは,エネルギーの与え方を変えればいいかと思います.速度の分布関数の平均が0なのは,気体全体として移動していないからです.つまり気体全体として移動させるようにエネルギーを与えれば,速度の分布関数は気体の移動速度の粒子が一番多くなります.

つまり,すべての粒子が同じ質量とすると,速度の期待値は重心系(粒子系全体の)の速度となります.なので動かない気体では,0のものが多くなるのではないでしょうか.

補足

お忙しい中、ご回答大変ありがとうございます。

確かに系に重心速度を与えれば速度分布関数はその重心速度でピークを持ちます。しかし、これは座標系の問題だと思いますので、（うごいている座標系を使うのと同じ）本質的には動いていないのと変わらないと考えます。

実際気体の温度を上げていったときに止まっている粒子が一番おおいなんてことはあり得ないと思います。
これは速さの分布関数で見たときに明らかになっていると思います。
（v=0のところでは粒子の数は0なっているので）

私がお聞きしているのは速度分布関数がvx=vy=vz=0で極大値を持つのを直感的に理解できないか、ということです。

しつこく質問してしまい申し訳ありませんが、ちゃんと理解したいと思い、なんどもお尋ねしてしまっています。　　

本当にご丁寧にご回答くださりありがたく思っております。

回答No.3

masudaya

先ほども書きましたが,この疑問は0点の人が一番多くいても,平均点は0点ではないことと同じと思います.定義された,速さの分布関数の積分はv^2の期待値をあらわしますので上に述べたように,いくら0点が沢山いても平均点が0点にならないことになります.

補足

再度のご回答大変ありがとうございます。

説明して下さったことは大変わかりやすく、
速さの分布関数について理解が深まりました。

今一つ理解が十分でないのは、速度分布関数のほうです。
先ほどの補足のところの"言い換えると・・・"より後ろのところです。が、速度分布関数がいくらエネルギーを上げてもvx,vy,vz=0のところにピークが来るのが直感的にわかっていません。
おっしゃって下さった例でいいますと、一生懸命にどんなに勉強して全体の学力が上がっても0点の人が１番多いのが理解できないということです。

度々の質問にご丁寧にお答えくださり大変ありがとうございます。