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数学の面積
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>>y=x^4-x^2 >>y=x^2(x-1)(x+1) >>x^4 - x^2のグラフとx軸とが囲む図形の面積 慣れていれば、微分しなくとも、グラフの概形は判るのですが、 最初の内は、微分を使用して、極値の確認をする方が良いです。 y=(x^4)-(x^2) y’=4(x^3)-2x =4(x^3)-2x =2[2(x^3)-x] =2x[2(x^2)ー1] =4x[(x^2)ー(1/2)] =4x[x-(1/√2)][x+(1/√2)]=0 極値を与えるxは、 x=0、(1/√2)、ー(1/√2) 極値は此の問題では計算不要のようです。 <判り難ければ、2(x^2)ー1=0 として、良いです。 増減表より、概形は\/\/。 >>y=x^2(x-1)(x+1) を加味して、 ○ ○ ーーー○ーーーーーー○ーーーーーーー○ー -1 -(1/√2) ○ 0 ○ (1/√2) 1 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 求める面積は、x軸の下なので、このまま積分すると、<負>。 このまま、積分して最後に+にしても良いのですが, 最初から,∫・・・ → -∫・・・ の方が好ましいです。 求める面積をSとして、 S=-∫(-1、1)[(x^4)-(x^2)]dx =∫(-1、1)[(x^2)ー(x^4)]dx =[(1/3)(x^3)ー(1/5)(x^5)](-1、1) =[(1/3)ー(1/5)]ー[ー(1/3)ー(1/5)] =2[(1/3)ー(1/5)] =2*(2/15) =4/15 偶関数、奇関数 が既知ならば、 S=-2∫(0、1)[(x^4)-(x^2)]dx。
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- info22
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y=f(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1) の大まかなグラフを Y軸対称であることを意識しながら 描いて見て下さい。 ●f(-x)=f(x)でグラフはY軸対称(偶関数)であることから面積積分はx>0の領域(x=0~1)の面積の2倍で計算します。 ●0<x<1でy=f(x)<0であるから面積は絶対値|f(x)|=-(x^4-x^2)を積分します。 面積S=2∫[x:0~1](x^2-x^4)dx で求めてください。 注)S=4/15となれば合っています。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
3つあろうが4つあろうが、y=0となるxの値の最大値と最小値を持ってきて ∫|y|dx を最小値(-1)から最大値(1)まで計算すれば面積が求まります。 注意点としては、 ・絶対値記号の外し方 ・最小値から最大値までの間にyが不連続になったり発散したりする場合 でしょう。 後者は、本問では無関係です。yは定義域全体で連続だし、-1(最小値)から1(最大値)まででyは発散しないので。 前者ですが、途中にあるx=0ではyの符合が変化せず、-1≦x≦1でy≦0なので、|y|=-yとして普通に積分すれば求まります。 一般には、y=0となる値の前後でyの符号の変化に気をつけて、符号が変わるならばそこで積分区間を区切って|y|を-yか+yに置き換えて積分して足し合わせることになります。
- redowl
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y=x^4-x^2の式は y軸に対して線対称なのだから x: 0→1 の区間の積分で求めた値を 2倍すれば・・・
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