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最大値は持つが最小値は持たない条件(再質問)
どうしても分からないのでもう一度教えてください。混乱してきました。 分数関数f(x)で分母が2次式で分子はxの関数があります。「最大値は持つが最小値は持たない条件」としてD≧0でありf(x)=x/(x-p)(x-q)と変形しています。pqはどう符号だということは分かっています。 さらに、p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので最大最小は持たない。p=q>0のときも∞に発散して不適。 よってD=0のときと書いてあります。 「p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので」「p=q>0のときも∞に発散して」という2つの文章はいきなり変えてありましたが、この理由を教えて下さい。具体的に微分するのでしょうか。それでもうまくいきません。パソコンでグラフを書けばよい、というアドバイスをいただきましたが、試験場ではかけないので、上の2つの≪明確な根拠≫を教えてください。 何度も申し訳ありませんが、よろしくお願いします。
- dandy_lion
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- einart
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~全体の補足~ 質問の理解に苦しみます。 ・Dの意味 分数関数の微分df/dxということですか? それとも分母の判定式ですか? パッと見はf(x)の判定式に見えてしまいます、しかしf(x)は分数関数。悩んでしまいます。 問題の流れ (ⅰ)「最大値は持つが最小値は持たない条件」なのでD≧0 (ⅱ) D≧0 ⇒ f(x)=x/(x-p)(x-q) (ⅲ) p≠qのとき x=pが漸近線で-∞か∞に発散するので最大最小は持たない。 これは条件を満たさない。 (ⅳ) p=qのとき p>0とすると ∞に発散して不適。 よってp<0 (ⅴ) p=q が分かった。これはつまりD=0ということである。 質問に対する回答 (ⅲ)(ⅳ)の回答 (ⅲ) p≠qのとき p<q として問題ないので以後これで考える。 qに対して右側からの極限と左側からの極限を考えます。 ・右側から (x-p)(x-q) → +0 ・左側から (x-p)(x-q) → -0 これではf(x)は+∞と-∞になってしまうので p=q でないといけません。 (ⅳ) f(x)=x/(x-p)^2 ですので p<0のとき f(x) → -∞ (x→p) 最小値を持たない p>0のとき f(x) → +∞ (x→p) 最大値を持たない なのでp<0を採用します。 グラフは証明には使いません。しかし見やすく、説得しやすく、イメージを起こすために非常に重要なものです。がんばってください。
- mis_take
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p≦q とします。 xをqに右から近づけると,分子→q,分母→+0 で 全体→±∞(符号はqと同じ)です。 最大値があることから,q<0 でないといけません。 p<q(<0) とすると xをqに左から近づけると,分子→q<0,分母→-0 で 全体→+∞ になってしまいます。 したがって,p=q<0 でないといけません。
>分数関数f(x)で分母が2次式で分子はxの関数があります。 >D≧0でありf(x)=x/(x-p)(x-q)と変形しています。pqはどう符号だということは分かっています。 >「p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので」..... これは、「x=p および x=q の前後で正と負に発散するので」という意味でしょう。 これでは、有限の最大値も、有限の最小値も存在しないことになります。 残っているのは p=q の場合。 f(x)=x/(x-p)^2 これなら、x=p の前後で正負同じ向きに発散します。 分母は非負なので、p が正(負)のとき、p の近くにて f(p)も正(負)になることを確めてください。 x=p 以外で f(x) は発散しないから、有限の最大値か最小値の一方が存在するはず。これも、確めてください。
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