数列の問題に関する質問です。

質問

こんにちは。
週末を使って大学の数学の宿題をしていたのですが、
なかなか進まずここで質問させて頂くことにしました。
（ちなみに私は高校も大学も文系です。）

P(X=k)=c*(3^k/k!) (K=0,1,2,・・・)
のときのcの値、Xの分布名、P(X=k)を最大にする
k(分布のモード)を求めよ。

という問題です。
c*[∞Σk]3^k/k! 　☆[∞Σk]∞は上のほうでkは下のほうです。
という式がたち、
3^k/k!は、
分子の数列は　初項が1、等比が3の等比数列 となり、
無限等比級数の和 S=初項/(1-公比)より
S=1/(1-3)=-1/2
となると思うのですが、
分母の数列で初項が0、等比が(n-1)!の等比数列で
(n-1)!の処理の仕方が分かりません。
階乗の和(順列の和？)の公式があると思い、調べているの
ですが見つかりません。
また次の問題、「Xの分布名、P(X=k)を最大にする
k(分布のモード)を求めよ」はまったくのお手上げです。
cの値を求めるところだけでもいいので、教えていただけると
ありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

指数関数のテイラー展開は知りませんか？
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+…
というものです。
これからP(x=k)を全部足すと、c*e^3になるので、これが1よりc=e^(-3)
です。
これは平均3のポアソン分布といわれるものです。

お礼

zk43さま
早々のご回答ありがとうございます。
高校時代に習った記憶がかすかにあるのですが、
まったく覚えていませんでした。
急いでテイラー展開について復習します。
とりあえず、cの値が解決してうれしい限りです。
本当にありがとうございました！