4角形の面積について

質問

お店のリフォームの際、部屋を仕切るレイアウトを考えていて気になりました。

一辺が2mの正方形の面積は4平米で周囲は8mですよね。
ところがそれを3m×1mの長方形にすると周囲は同じく8mなのに3平米になるのですよね。正方形が一番大きいという事でしょうか。
長方形にするほど狭くなっていく、その最初あった面積はどこにいってしまうのだろう？とすごく疑問を感じてしまいます。

同じ長さのヒモで囲まれた範囲の面積が変わってしまう理由はなんでしょうか？

当たり前と言えば当たり前の事なんですが「どうして？」と聞かれて答えられない自分がいます。何か大きな勘違いしているのでしょうか？

また、ある一本のひもで囲んでいるとするとそのヒモを円にするとどうなるのでしょう。正方形より広くなる？

とてもくだらない質問ですみません。

回答No.5

sanori · ベストアンサー

くだらない質問ではないですよ。

周囲（紐）の長さが決まっているとき、
長方形の中で最も面積の大きいのは正方形です。

また、
周囲（紐）の長さが決まっているとき、
あらゆる平面図形の中で最も面積が大きいのは円です。

円の方の証明は、難しいので割愛。

正方形のほうは、中学校１年の知識で説明できます。

まず、一辺の長さがａの正方形があるとしましょう。
（紐の長さは４ａ）
これの面積は、ａ^2 です。

次に、
縦辺の長さをｂだけ長くする代わりに、横辺の長さをｂだけ短くしてみます。
紐の長さは変わっていませんよね？
では、
その長方形の面積を出してみましょう。
縦の長さは、ａ＋ｂ　で、横の長さは、ａ－ｂ　。
この２つを掛け算すれば、長方形の面積。
面積　＝　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）
↑
この式の右側、どっかで見たことありませんか？
そうです。
中１で習う乗法公式です。

面積　＝　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）
　＝　ａ^2 － ｂ^2
　＝　元の正方形の面積　－　ｂ^2

ｂ^2 が小さければ小さいほど長方形の面積が大きくなります。
つまり、ｂ＝０ ならば、紐の長さ４ａの長方形の面積を最大にすることができます。

最大面積　＝　元の正方形の面積　－　０
　＝　元の正方形の面積

これで、正方形のときに面積が最大になることが分かりましたよね？

お礼

数学カテらしい素晴らしい回答だと思いました。
感激です。
ありがとうございました。

回答No.12

noname#47975

>同じ長さのヒモで囲まれた範囲の面積が変わってしまう理由はなんでしょうか？

例えば、日本で一番、海岸線が長い都道府県はどこでしょう？といった問いに、北海道と答える人が多いでしょう。しかし、実は長崎県です。
ちなみに、長崎県の面積は北海道の約２０分の１しかありません。
詳しくは、下記のＵＲＬを参照して下さい。

​http://ku0811.hp.infoseek.co.jp/newpagenihonichi.html#4-11

＞長方形にするほど狭くなっていく、その最初あった面積はどこにいってしまうのだろう？とすごく疑問を感じてしまいます。

ここで、９枚の正方形のタイルを３×３で敷き詰められているとします。
そして、２×４に敷き詰め直すと、１枚のタイルが余ります。
これが減少分になります。もちろん、１枚の正方形のタイルの一辺を１と
した場合、３×３の場合も２×４の場合も当然ながら周長は変わりません。
逆に２×４から３×３に敷き詰めなおすと、今度は、
１枚のタイルが不足するので、不足分の１枚を補って長方形（正方形）を
作ります。これが面積の増加分になります。

＞また、ある一本のひもで囲んでいるとするとそのヒモを円にするとどうなるのでしょう。正方形より広くなる？

実際に計算してみると、正方形の面積をＳ＾２として、
一辺の長さはＳになります。
よってこの正方形の周長は４Ｓとなります。
次に、円周の長さ４Ｓの円の面積は、
（４Ｓ÷２π）＾２×π　＝　（２Ｓ／π）＾２×π
（４Ｓ＾２／π＾２）×π　＝（４／π）Ｓ＾２になります。
ここで円周率πは３．１４と近似できるので、
（４／３．１４）Ｓ＾２となるので、
すなわち、正方形の面積Ｓ＾２よりも（４／３．１４）＝１．２７倍
だけ大きい事が分かります。

お礼

ありがとうございます。

＞ここで、９枚の正方形のタイルを３×３で敷き詰められているとします。
＞そして、２×４に敷き詰め直すと、１枚のタイルが余ります。

それと同じ事をパソコンの数字キーを見つめていて考えました。
一体残った1個はどこに行ってしまうのだろうと（笑）

１．２７倍ってけっこうでかいですね。

回答ありがとうございました

回答No.11

Quattro99

周囲の長さが同じ場合、長方形の中では正方形がもっとも面積が大きいことを視覚的に示す一例です。
正方形と長方形を一つの角をそろえて重ねます。すると、お互いにはみ出る帯状の部分が出来ますが、周囲の長さが同じなら、帯の幅はどちらも同じになります。幅は同じですが長さは違いますから（どっちがどうなのかは図を描けば明らか）、重なっている部分からはみ出ている帯状の部分の面積が大きいのは正方形のほうだということがわかります。重なっている部分の面積は当然同じですから、合計すると正方形の面積の方が大きいことがわかります。

お礼

ありがとうございます。

そうなんですよ。それも実はやりました。
でもなんか納得がいかなくて数式的な回答を欲しくて質問してみました。

回答ありがとうございました。

回答No.10

banakona

良い回答がたくさん寄せられていますが、ちょっとだけ補足します。

逆の発想をしてはどうでしょう？　つまり「一本のひもの輪で、できるだけ小さな面積を作るにはどうすればいいか」と。
簡単ですね。ぺちゃんこにすれば面積はゼロです。この状態から少しでも膨らませれば面積は増えます。

最大の面積になる図形は、既に皆さんが答えたとおりですが、面積が増えたり減ったりすること自体は、ぺちゃんこの状態から考えるとそれほど不思議でもない気がします。

お礼

そうなんですよね。
私も『ぺちゃんこで0』を思い立ってから面積が変わるのは私の計算間違いではないことに気づきました。（笑）

回答ありがとうございました。

回答No.9

komimasaH

円の場合が正方形より面積が大きくなることも簡単に分かります。
私の前の投稿と同じように円周は２aだとします。
半径ｒだとすると、２πｒ＝２a　r=a/π　　　ａ^2
面積はπ＊（a/π)^2 =ａ^2 /π
正方形の面積は、ａ^2 /4
π＜4ですから、円のほうの面積のほうが大きくなります。

お礼

回答ありがとうございます。

数学的にちょっと高度すぎて良く理解できませんが為になりました。
ありがとうございました。

回答No.8

komimasaH

辺の和が2aで一辺がｘだとすると、残りの辺はa-xになります。
面積はＳ＝x(a-x) これは上が凸の二次曲線で最大値を持つのは明白。
ｘで微分してゼロと置きます。ｘ＝a/2、a-x=a/2。正方形です。

回答No.7

zk43

8mのひもで四角形（長方形か正方形）を作ると、縦と横の長さを足すと
8mの半分で4mですね。
縦の長さをxとすると横の長さは4-xになるので、面積はx(4-x)になり
ます。
これを変形すると、
4x-x^2=4-(4-4x+x^2)=4-(2-x)^2
これを最大にするには引く部分を0にする、すなわち、x=2にすれば
よく、これは正方形の場合に相当します。
要するに、二次関数x(4-x)の0＜x＜4での最大値を求めていることに
なります。（高校で放物線のグラフを描いてやったかと思います。）
面積が変わるというのは、２数の和が同じでも、積は異なる場合が
あるというのと同じような感じですかね。
円の場合は相当難しいと思います。変分法みたいのを使うのかな？
たとえ円が最大でも実際には住みにくいですね。

こういう素朴な疑問から数学のいろいろなものが発展してきたと思う
ので良いと思います。他にも、表面積が一定で体積が最大になるのは
どんなときかとか、いろいろ考えられそうですし、そんな中で一般的
な手法が確立されたりしますしね。

お礼

＞たとえ円が最大でも実際には住みにくいですね。
そうなんですよ。（笑）

効率の良い仕切り方を考えていてこの疑問に当たりました。

数式はちょっと難しかったですが、とにかく「数学的に証明できる」ということが分かりました。
回答ありがとうございました。

回答No.6

Denkigishi

通常は当たり前で済ましていることに、ふと疑問を感じるというのは、とっても素晴らしいことだと思います。私もあなたの質問を見て、どう解釈すべきか考えました。なかなかいい答えが見つかりませんでしたが、とりあえずこう考えることにしました。回答ではなく、こういうことを考えたというだけです。
自分の領域が紐で囲まれていたとして、面積を広げるには、兎に角、紐を前方に押し出す。後側も、右側も、そして左側も。更に左前方、右前方、左後方、右後方も。とにかく四方八方隈なく同時に押しだす。究極的には円となる。従って円が一番面積が大きい。
他の図形は、その形が円に近いほど面積は大きい。正三角形よりも正方形、正方形よりも６角形。同じ４角形でも長方形より正方形の方が円に近いのでないかな。

お礼

非常に感覚的に分かりやすい回答で楽しかったです。
ありがとうございます。

回答No.4

noocyte

「周囲の長さが一定のとき，面積が最大の図形は何か？」
という問題を「等周問題」といい，正解は円です．

等周問題：周の長さが一定のとき、面積が最大の図形は何か？
http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/milk/tohsyuu/tohsyuu.html

円 (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29#.E5.86.86.E3.81.AE.E6.80.A7.E8.B3.AA

"等周問題" で検索
http://www.google.co.jp/search?q=%22%E7%AD%89%E5%91%A8%E5%95%8F%E9%A1%8C%22&sourceid=navclient-ff&ie=UTF-8&rls=GGGL,GGGL:2006-34,GGGL:ja

お礼

常識だったんですね。
回答ありがとうございました。

回答No.3

nonbay39

もし、その８ｍひもだと考え、それを円周だと考えると、
　２πｒ＝８となり半径ｒ＝約１．２７ｍの円となります。
　面積はπｒ２乗ですから約５平米になりますね。と考えると正方形より広くなると言えるとは思います。

　単純に考えると　円＞正方形＞長方形となるのは事実です。

　なんでかは私もわかりません。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

katouken

周囲の長さと面積は別物だからです。
円と正方形だと計算で簡単に面積が出せると思います。