場合の数（高１）の質問

質問

次の問題の考え方がわかりません。教えてください。

問．次の等式を満たす自然数の組（x,y,z）は何組あるか。
(1)x+y+2z=10
(2)x+2y+3z=12

回答No.3

roro02 · ベストアンサー

この手のタイプは数が限られているので式変形より実際に数値を代入して考えていきます。
(1)だとx=10なんて代入すれば(x,y,z)が自然数の範囲では解がないのはすぐ分かるでしょう。
それで、まずｚの動ける範囲を考えるとz=1,2,3,4であることが分かります。
(z=5で10をオーバー)
z=4のとき与式はx+y=2となりますから、x,yが自然数ならx=y=1が出てきます。(x,y,z)=(1,1,4)が１組見つかりました。

以下同様にして行きます。

お礼

ありがとうございました

回答No.5

oshiete_goo

基本的には解答が出ているのですが,技術的視点から別解を．参考までに．
(1),(2)とも，自然数x,y,zなので，先に1ずつ配った残り（ボーナス部分）を考えると，処理しやすくなります．
a=x-1,b=y-1,c=z-1とおくと, a,b,cはすべて０以上の整数で，
(1)<==>a+b+2c=6
(2)<==>a+2b+3c=6
と書き換えられます．すると，数が小さくなり，しかも０以上なので数えやすくなります．もちろんcから場合分けしていくべきでしょう．
この方針はx+y+z=Nの自然数解の個数を「重複組合せ」を利用して求めるときにもよく使います．（まだやっていなければ，いずれお目にかかるでしょう．）

お礼

ありがとうございました

回答No.4

19san

No1です。
ごめんなさい。設問二つだったのね。
回答はお二方がされてるのでもう分かったことでしょう。
この手の問題は係数が大きいものから考えていくと良いと思います。

回答No.2

kony0

(1)z=1,...,5のそれぞれに場合わけして、各zに対応する(x,y)の組を拾い上げましょう。
(2)も同様。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

19san

二式のxを消去してy,zの組を考えてそのy,zのときのxを求めればいいんじゃないの？

お礼

ありがとうございました