「数Ａ 整数の性質」 助けてください！！

質問

問　　次の等式を満たす自然数Ｘ．Ｙ．Zの組をすべて求めよ。

　　　　　　　　　1/x +1/2y +1/3z =4/3 (x≦y≦z)

という問題なのですが、下記の部分が理解できず困っています…

解答

1≦x≦y≦zであるから　　1/ｚ≦1/y≦1/x　…(1)

よって 4/3=1/x +1/2y +1/3z=1/x +1/2x +1/3x=11/6x
（↑この部分の考え方が分かりません…）

ゆえに　ｘ≦11/8
ｘは自然数であるから　ｘ=1

このとき、与式から　　1/2ｙ +1/3ｚ=1/3…(2)

(1)より　　　1/3＝1/2ｙ +1/3ｚ≦1/2ｙ +1/3ｙ＝5/6ｙ ゆえにｙ≦5/2
　　　　　　　　（↑この部分の考え方が分かりません…）

yは自然数で、1=ｘ≦ｙ　であるから　　ｙ=1、2

　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　：

　　　　　　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（1、2、4）

分かりずらい説明で、申し訳ありませんがどなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.4

chamiken · ベストアンサー

＞1/2y+1/3zをｘを用いて1/2x+1/3xとしたのは
　1/xが一番大きいからですか？

今回の問題に限り、その通りです。
ちょっと難しいですが、
今回、置換によって文字を一つに限定した不等式を導く目的は、
x≦●という不等式を得ることにあります(もしくはy≦●かz≦●)。
これと自然数という条件によって、
0<x≦●というように値の範囲を限定するためです。
このx≦●のような不等式を導けるのが、
今回の問題ではx,y,zの中で一番小さいxに置換した場合だからです。
(与えられている条件が「自然数」以外の場合、
　x以外への置換が必要な場合もあり得るということです)

ちなみに、xとyをzに置き換えると、
z≧11/8が導かれ、z>0と併せても範囲が絞り込まれません。
また、y-xとz-yのどちらが大きいかわからないため、
x,zをyに置き換えることはできません(不等式の向きが不明のため)。
慣れれば何に置換すればいいか予測できるようになりますが、
わからなければ、ひとまずxに置換してみて、
うまくいかなかったらzに置換してみるというので問題ないかと思います。

＞また、不等式全体を2や3で割るのは、与式にそろえているのですか？
＞それはなぜなのでしょうか？

はい、与式に揃えるためです。
というか、
2や3で割って与式にそろえたほうが説明がわかりやすい気がしたためです。
1/x+1/2y+1/3z
=(1/x)+{(1/2)×(1/y)}+{(1/3)×(1/z)}
≦(1/x)+{(1/2)×(1/x)}+{(1/3)×(1/x)}
=(11/6)×(1/x)
と考えれば、不等式全体を2や3で割る必要はありません。

あ、ついでに。
1/2yという書き方だと、No.3の回答者の方のように
1/(2y)なのか(1/2)×yなのか混乱される場合があるのでご注意を。

お礼

納得です。

ありがとうございます。

数式ありの質問は初めてだったので
書き方に不備があり申し訳ありません。

丁寧な回答感謝いたします。

回答No.3

oignies

数式みながら回答するのがむずかしいのですが

でだしだけならわかります

ただし、この部分がわからないとあなたがおっしゃ

っている部分はわたしにもわかりません。

右辺の＝の右側にいくのに飛躍があります。

わたしがおもうには、左辺が分数で分母が３であって

右辺のなかの分母が一番大きくなる可能性のある

１／３Ｚのｚは１より大きい数字ではありえない

よって、可能性としては、ｘ　ｙ　ｚすべて１しかあ

りえないが、これを与えられた式に代入しても

なりたたない。

よって、回答なし。

のはずです。

（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，２，４）が答になっているとのこ

とですが、これを与えられた式に代入してもな

りたちません・・・

つまり、この証明はでたらめです。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

chamiken

kotobanoknife様、こんばんは。

1≦x≦y≦zであるから、
その逆数においては1/ｚ≦1/y≦1/xが成り立ちます。
(ここまではご理解されていらっしゃるかと思います。)
ここで、この不等式全体を2や3で割ると、
1/2ｚ≦1/2y≦1/2xおよび1/3ｚ≦1/3y≦1/3xが導かれます。
(不等式全体を正の数で割る時、不等号の向きは変わりません。)

なので、
4/3=1/x +1/2y +1/3z　(与式)
≦1/x +1/2x +1/3x　（1/2y≦1/2x、1/3ｚ≦1/3x より）
=11/6x　となります。

二つ目の不明点も同様の考え方で、1/3ｚ≦1/3yを用いています。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。
非常に分かりやすく助かりました。

もう二つお聞きしたいのですが、

4/3=1/x +1/2y +1/3z　(与式)
≦1/x +1/2x +1/3x　（1/2y≦1/2x、1/3ｚ≦1/3x より）
=11/6x　

ここで1/2y +1/3zをｘを用いて1/2x +1/3xとしたのは
1/xが一番大きいからですか？

また、不等式全体を2や3で割るのは、与式にそろえているのですか？それはなぜなのでしょうか？

すみません。お答えいただけると嬉しいです。

回答No.1

hashioogi

正しくは
4/3=1/x +1/2y +1/3z=1/x +1/2x +1/3x=11/6x
ではなくて
4/3=1/x +1/2y +1/3z≦1/x +1/2x +1/3x=11/6x
です。
だから
4/3≦11/6x
になって
ｘ≦11/8
が導かれます。

お礼

すみません…
気づきませんでした。
ありがとうございます。