指数・対数と計算尺

質問

前に指数に関する質問をしたものです。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2750665.html

計算尺は指数・対数の原理の応用ということで手引書を読んでいるのですが「すべての掛け算は累乗指数で考えると和で表される・・・」という説明があったのですが正直なところ何のことがさっぱりわかりません。この言葉を具体的に説明いただけないでしょうか？

回答No.3

larme001 · ベストアンサー

どんな数字でも、指数に分数、小数を用いれば「ある数字のn乗」といった形で表現出来ます。

たとえば、「10」をもちいて3を表そうとすると、

10^x=3 を満たすxを見つければいいのです。これは両辺にlogをとって、
x=log3とかけます。
このようにすれば、
1=10^log1 2=10^long2, 4=10^log4 5=10^log5などとかけるので、
1ｘ２ｘ３ｘ４ｘ５＝10^(log1+log2+log3+log4+log5)となります。
手計算ではlog3などの数字を厳密には求められませんが、
log3=2.3025..などであることを考えれば
「すべて積は累乗指数の足し算の形に帰着できる」という意味になります。

まあ、#2さんの言っていることと同じです。

補足

回答ありがとうございます。対数の基本的な考え方を理解するのに役立ちました。

回答No.7

staratras

計算尺そのものを入手して使ってみたら一目瞭然ですが、現在では入手が困難かもしれませんね。リサイクルショップなどでは時々見かけますが。計算尺は昔は教育テレビで講座をやっていたくらいポピュラーなものでした。（回答者の年齢がわかりますね）

計算尺の優れていた点は、目盛りの読み取りなので計算の最後の数字は目分量で誤差があるため、絶えず有効数字を意識していたことと、位取りを暗算でやる方法があって計算結果の桁数を間違えにくかったことです。

また対数表も天文計算などではよく使われていて、彗星の軌道計算を対数表を用いて（掛け算を足し算にかえて）計算する方法が、計算機を使って行う方法と並んで解説されていました。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%B0%BA

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

age_momo

計算尺に絡んでの質問と言うことなので実際、掛け算や指数計算が対数を使ってどのように
計算できるか書いて見ます
他の回答者さんたちが書かれているように指数、対数は

a^3*a^5=a^(3+5)=a^8

log[a]3*5=log[a]3+log[a]5

log[a]7^28=28*log[a]7

という関係があります。これに関しては質問者さんが貼られている前質問で納得されていますね。
あるいは教科書、参考書を読んでください。指数対数で結構、真っ先に出てくる公式ですから。
では、実際にどのように活用できたか(過去形にします。今は電卓がありますから）というと

(1)　x = 325*281*36/511

この計算を考えます。まず両辺を10を底にした対数log[10]xをとります。(以下、[10]は省略)

logx=log(325*281*36/511) = log325+log281+log36-log511

対数の性質から以下のように書き換えます。例えばlog325=log3.25+log100=log3.25+2

logx=log3.25+2+log2.81+2+log3.6+1-(log5.11+2)

次に常用対数表からそれぞれの数字を調べます。
log325 ≒ 0.5119　　log281 ≒ 0.4487　log36 ≒ 0.5563　　log511 ≒ 0.7084
この数字を入れて具体的に計算すると

logx=3.8085

こんどは両辺を10の指数として乗っけて

10^logx=x=10^3.8085=10^0.8085*10^3

対数表を逆に0.8085に近い所を探してlog6.43=0.8082　ということで　

x=6.43*1000=6430

実際は6433.9ぐらいですがある程度の数字は求められます。さらに威力を出すのが

(2)　x = 2^1036

これはそのままでは簡単な電卓では今でも計算できないと思います。
やはり両辺の常用対数をとって

logx=log2^1036=1036*log2

log2を対数表で調べると0.3010

logx=1036*0.3010=311.836
10^lox=x=10^0.836*10^311=6.85*10^311

大体ですが結果が求められます。(実際は7.36*10^311)
指数対数を使うことで掛け算は足し算に、指数計算は掛け算に変更できます。
計算尺はこれらの計算を出来るように対数を刻んだ物差しだったんです。
(本当はもっと工夫されていましたが、基本はこれだったと思います）

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

2718281828

他の皆さんの回答はどれも正確です．私は質問タイトルに「計算尺」とあるので，計算尺の視点から回答させていただきます．内容としては同じ事です．

まず，計算尺の原理は「掛け算を足し算にしよう」というところから始まります．計算尺の目盛が普通の物差しのように等間隔で打ってあれば，「１＋３」や「７－５」の計算ができるということはご理解いただけるかと思います．その延長で掛け算を計算できるようにしたのが計算尺です．

さて，ご質問の内容ですが，

○累乗指数とは，a^3の「3」のことです．単に『指数』と呼ぶこともあります．

皆さんの回答にあるように，

a^3 × a^2　＝ a^(3+2) ＝ a^5

という関係があります．「すべての掛け算は累乗指数で考えると和で表される・・・」とは，これをベースにしたものです．また，この場合のaを『底』と呼びます．

○全ての数は「ある数の何乗」の形で表記することができます．

16 = 4^2 = 2^4 = 256^(0.5)

具体的な数値は（電卓叩くのが面倒なので）出しませんが，16 = 3^x = 5^y で表すこともできます．
ただし、0は何乗しても0ですので，正確には「0以外の数の何乗」となります．

○全ての数を共通の底の指数乗で表しておけば、全ての掛け算は指数の和で表すことができます．

16 × 4 ＝ 2^4 × 2^2 ＝ 2^(4+2) = 2^6 = 64

つまり，「（２の）４乗と２乗の掛け算だから，４＋２で（２の）６乗だ」ということです．「すべての掛け算は累乗指数で考えると和で表される」とはこのことです．

※ちなみに，底を10とするとこうなります．

16 × 4 ＝ 10^1.2041200 × 10^0.6020600 ＝ 10^(1.2041200+0.6020600) = 10^1.8061800 = 64

○問題は，16や4をそれぞれ2^4，2^2に変換する手間と，「2の6乗」を計算する手間です．これを簡単にする器械が計算尺です（ついでに4＋2の足し算までやってくれます）．この先はお手元の計算尺の手引書を読むなり，実際に計算尺を使ってみて頂くほうが理解が早いでしょう．

計算尺では，その共通の底を10としています．工学の分野ではlogといえば底は10です．自然科学でlogといえば底はe=2.718281828です．使う目的が違うので止むを得ません．

計算尺の有効桁はせいぜい三桁です．計算尺ができる前は，対数表というものを使っていました（参考）．3.172や3.173が10の何乗かを計算した結果が全部載っている数表です．変換と足し算を自分でやらなければならないので，計算尺の方がずっと手軽です．しかし，対数表の有効桁は五桁で（数表としては七桁），精密な計算が必要なときには使われていました（昔のSFですと，宇宙船の航宙士が対数表を開いて軌道計算をするシーンがあったりします）．

電卓が100円で買える今の感覚では，有効桁が三桁だ五桁だと，馬鹿馬鹿しく思われるかもしれませんね．しかし，アポロを打ち上げたときの今ぴゅータの軌道計算プログラムの有効桁はたった四桁だったそうです．電卓の出現も40年代末ですから，昭和50年前半までは計算尺は現役だったと思います．

参考：対数表は今も丸善から出版されています．わざわざ一冊買う必要はありませんが，図書館で見かけたら最初の使い方のところだけでも目を通されることをお勧めします．

参考URL：

http://books.yahoo.co.jp/book_detail/18880492

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.4

Ishiwara

考え方その１
1000000×100000 を計算するとき、あなたの頭の中では「掛け算」をしますか「足し算」をしますか？
当然足し算ですよね。つまり（６という対数）＋（５という対数）で、答１１を出し、次に１０の１１乗（指数は１１）を求めます。

考え方その２
あなたは足し算ができないとします。２本のふつうの物差しがあるので、それを向き合わせて足し算をすることができます。だから、掛け算のできない人（または面倒くさい人）は、対数目盛りの物差しを２本使って、それを向き合わせて、足し算と似た「継ぎ足し法」で答を出すことができます。これが、対数と計算尺の原理です。ただし、足し算の起点は０ですが、掛け算の起点は１です（計算尺には０はありません）。

回答No.2

y_akkie

＞すべての掛け算は累乗指数で考えると和で表される・・・

多分本書にかかれている内容としては、対数関数logMN = logM + logNの事を指しているのではないでしょうか。
おそらく、複数の積を真数とする対数関数は、対数関数の和で表される事を利用しての計算法の前段階としての説明なのではないでしょうか？
例えば、1～１００までの積を計算する場合も、まず、対数関数にすると、log100!であり、これはlog1 + log2 + log3... + log100(各対数関数の底は10とする)といった足し算の式で表されます。そして和を計算した後、指数関数によって、積の計算結果にする事ができます。すなわち、10^（log1+log2+...log100) = 10^(log100!) = 100!といった感じで、底^(和)=積(うまく書けなくて申し訳ないのですが；)にする事ができます。
こうした計算法は、桁数の大きい積を計算する時など、対数関数に変換して足し算の計算にすれば、計算時の負担が減るといった理由により、コンピュータでの数値計算でも利用される事があります。ただし、正確な値を求めるには不向きな計算方法です。
僅かな誤差を無視できるような非常にスケールの大きさな数字の掛け算をする時には有効な方法となります。

補足

ありがとうございます、対数はまだ少し難しいですが少しずつわかってきました。

回答No.1

lick6

a^4 * a^3 = (a * a * a * a) * (a * a * a) = a^7 = a^(4+3)
こういうことですか？

お礼

回答ありがとうございます、それは前の質問で理解できたんですが・・・