三角関数と対数の関連について

質問

歴史的にはいわゆる対数が発明される前に三角関数の公式を使って掛け算を足し算として計算することが行なわれていたそうですが、オイラーの公式を眺めていると左辺の指数部分はｉとｘが掛け算ですが右辺が実数部と虚数部に分かれていて何となくこの公式が対数のことを示しているような感じがするのですが、このような印象には何か数学的な根拠があるものでしょうか。

回答No.4

proto · ベストアンサー

三角関数と対数関数というより、実数の対数法則と偏角の法則が似ているように感じます。

　　log(a*b) = log(a)+log(b)
　　log(1/a) = -log(a)
　　arg(z*w) = arg(z) + arg(w)
　　arg(1/z) = -arg(z)
などです。

これは、複素数の範囲での対数関数を考えれば、
　　z = |z|*exp(i*arg(z))
　　log(z) = log|z| + i*arg(z)
となり、対数関数が偏角の関数を含むことによります。

お礼

ご教示をいただき改めて掛け算と足し算の関係にますます強い興味を感じました。勉強して行きたいと思います。ありがとうございました。

回答No.5

noname#101087

#3 です。少々蛇足を。

指数関数の方から眺めると、A*B の掛け算は…

・実指数
　A = e^a, B = e^b
として、
　A*B = (e^a)*(e^b) = e^(a+b)

・虚指数
　A = Re(e^ia), B = Re(e^ib)
として、
　A*B = Re(e^ia) * Re(e^ib) = Re{e^i(a+b)}/2 + Re{e^i(a-b)}/2
(注：こちらには、ほかの組み合わせもあり)

お礼

やはり虚数が関係しないと統一的な理解はできないようですね。大変興味深いご追加を教えていただいて感謝いたします。

回答No.3

noname#101087

#2 ですが、「間違いを正せ」という回答でした。
謹訂正。

-------------------
A*B を求めたいとき。
・対数表の場合と同様、A=a*10^m, B=b*10^n と桁取りし、a, b≦1 にしてしまう。
・sinα= a, sinβ= b なるα,βを求める。
・cos(α-β) = p, cos(α+β) =q を求める。
・a*b = (p-q)/2
・桁の復元
-------------------

ほかのとゴッチャになってました。

お礼

ごていねいに御教示感謝いたします。三角関数による簡便計算法が余り発達しなかった理由が何かあったのでしょうね。

回答No.2

noname#101087

対数表のかわりに三角関数表を使う、のはできそうですね。

A*B を求めたいとき。
・対数表の場合と同様、A=a*10^m, B=b*10^n と桁取りし、a, b≦1 にしてしまう。
・sinα= a, sinβ= b なるα,βを求める。
・sin(α+β) = p, sin(α-β) =q を求める。
・a*b = (p+q)/2
・桁の復元

もっとありそう。

回答No.1

maku_x

指数関数 y=exp(ix) (iは虚数単位)をマクローリン展開すると、実部と虚部がそれぞれ cos(x)、sin(x) のマクローリン展開になることが分かります。つまり、これがオイラーの公式で、このことから、
exp(ix) = cos(x) + isin(x) ... (1)
exp(-ix) = cos(x) - isin(x) ... (2)
(1)+(2)より、
2cos(x) = exp(ix) + exp(-ix)
cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2
(1)-(2)より
2isin(x) = exp(ix) - exp(-ix)
sin(x) = (exp(ix) - exp(-ix))/(2i)
を得ます。三角関数は指数関数で置き換えることができる訳です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

お礼

御教示ありがとうございました。三角関数と指数関数は高校レベルではなかなか関連を理解するのは難しそうに思いました。