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良品か不良品かの確率
ご覧頂きまして、ありがとうございます。 勝手ながら、早急にご回答いただきたく存じます。 ―問題――――――――――――――――――――――――― ある工場で作られる製品は、4％の割合で不良品が現れる。 この製品をある装置によって良品か不良品かを検査するとき、 良品か不良品かを誤って判定してしまう確率は5％であるという。 このとき、次の確率を求めよ。 （1）「良品」と判定された製品が、本当に良品である確率 （2）「不良品」と判定された製品が、本当は良品である確率 ―――――――――――――――――――――――――――― 私は、 （1）： 96/100が良品。このうち、95/100が本当の良品であるので 114/125 と最初はしました。しかし、解答は456/457です。 また、 （2）： 4/100が不良品。このうち、5/100が本当は良品であるので 1/500 と最初はしました。しかし、解答は24/43です。 私も自分の答えを読み返し、なにかおかしいのはわかります。 でも、なにがどうおかしくて、なにをすれば答えにたどり着くかわかりません。 因みに、『条件つき確率(確率の乗法定理の利用)』と書いていました。 条件つき確率はわかりますし、大体の確率の知識(数Bレベルまで)はあります。 助言でも結構ですので、宜しくお願いいたします。
- nachi_na
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10000の製品のうち、9600が良、400が不良。 9600の良のうち正しく良なのは9120、誤って不良と出るのは480。 400の不良うち正しく不良なのは380、誤って良と出るのは20。 (1)良と判定されたのは9120＋20＝9140、このうち本当の良は9120。 (2)不良と判定されたのは380＋480＝860、このうち本当の良は480。
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- killer_7
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「良品である」という事象をA, 「良品と判定される」という事象をBとすると，題意の確率は (1) Pr(A|B) （良品と判定された，という条件のもとで，良品である確率） (2) Pr(A|notB) （良品と判定されなかった，という条件のもとで，良品である確率） であるということは分かりますか？（Pr(X)は事象Xがおきる確率，notXはXでないという事象） nachi_naさんは，Pr(A|B)を求められているところでPr(A)*Pr(B)を出してしまったりしています． さて，問題文から，良品である確率は， Pr(A) = 96/100 であり，良品と判定される確率は Pr(B) = （良品であり，良品と判定される確率） + （良品でないが，良品と判定される確率） = Pr(A ∩ B) + Pr(notA ∩ B) = Pr(A) * 0.95 + Pr(notA) * 0.05 = 96/100 * 19/20 + 4/100 * 1/20 となります．あとは条件付確率の定義 Pr(X|Y) = Pr(X∩Y)/Pr(Y) どおりに計算します． (1) Pr(A|B) = Pr(A∩B)/Pr(B) = (96/100 * 19/20)/(96/100 * 19/20 + 4/100 * 1/20) (2) Pr(A|notB) = Pr(A ∩ notB)/Pr(notB) = (96/100 * 1/20)/(1-(96/100 * 19/20 + 4/100 * 1/20)) となります．ただし(2)で，Pr(A ∩ notB)，つまり良品であり，かつ不良品と判定される確率は 96/100 * 1/20 であることを使いました． これは解答と一致するでしょう．
お礼
♯1の方の具体的な解答方法をみてからkiller_7さんの解答を 読ませていただいたので、より理解が深まりました！ killer_7さんの解答、わかり易く、わからなかった私が言うのは何ですが、 完璧ですね！ タイミングも♯1の方の後、というのが、私にはありがたかったです！ 本当に長文、大変でしたでしょうに、ありがとうございました！ よくわかりました！ ―――――――――――――――――――― 以下、 こちらの記事に書き込もうとして下さって、途中で締切になってしまった方、 もしいらっしゃったら、本当にごめんなさい！ 確率という難しい証明なので難しい記号等を多用されて、 大変なご苦労をさせてしまったことを深くお詫びいたします。 申し訳ありませんでした！ ありがとうございました！！！
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お礼
早速のお答えありがとうございます！ 具体的な数値を出していただいたため、本当によく理解することができました！ 1000の製品と仮定して、rtzさんのやり方にそって解いてみたところ、ちゃんと答えが出ました！ わかり易く、簡潔な解答をありがとうございました！