量子力学的振動子の分配関数と自由エネルギーについての計算
- N個の量子力学的振動子からなる系の分配関数Z(T,V,N)は、Z(T,V,N)=[2sinh(hω/2kT)]^(-N)で表される。
- 問題1では、ヘルムホルツの自由エネルギーF(T,V,N)を求める。問題2では、(a)エントロピーS＝-dF/dTと(b)内部エネルギーU=F+TSを求める。問題3では、問題2で求めた内部エネルギーUの温度Tに対するグラフの概形を書く。問題4では、量子系ではT→0の極限でUが0にならない理由を考える。
- 問題1のヘルムホルツの自由エネルギーF(T,V,N)はF=NkTln2sinh(hω/2kT)となる。問題2(a)のエントロピーの計算結果は-NKln2sinh(hω/2kT)-(Nhω/2T){cosh(hω/2kT)/sinh(hω/2kT)}であり、この結果の正しさについて不安がある。問題3以降の解法の手順も教えてほしい。
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初歩的な内容かもしれませんが、計算が合っているかどうか不安でしたのでわかる方よろしくお願いします。 ・N個の量子力学的振動子からなる系をカノニカルアンサンブルのもとで考えると、この系の分配関数Z(T,V,N)は Z(T,V,N)=[2sinh(hω/2kT)]^(-N) として表されている。 ここでの問いとして 1：ヘルムホルツの自由エネルギーF(T,V,N)を求めよ。 2：(a)エントロピーS＝-dF/dTおよび(b)内部エネルギーU=F+TSを求めよ。 3：2で求めた(b)で求めたU(内部エネルギー)のT(温度)に対するグラフの概形を書け。 4：古典力学系ではT→0の極限で、Uは0になるが、3で得られた量子系ではUは0にならない。それはなぜか。 1はF=NkTln2sinh(hω/2kT)とすぐわかったのですが、 2(a)のエントロピーを求める計算結果が -NKln2sinh(hω/2kT)-(Nhω/2T){cosh(hω/2kT)/sinh(hω/2kT)} となり、この結果で合っているかどうかが不安です。 よろしければこの結果であっているかどうか、また違っていた場合のその箇所考え方等をご教授願います。 もしよろしければ3以降の問題を解法の手順等もお願いします。 ※hはエイチバーとして判断して下さい。
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>-NKln2sinh(hω/2kT)-(Nhω/2T){cosh(hω/2kT)/sinh(hω/2kT)} ん～、第二項が微妙に違いますね。 1/TをTで微分した時に負符号が出てくる事を見落としたとか？計算し直してみてください。 >もしよろしければ3以降の問題を解法の手順等もお願いします。 3は、T→0での振る舞いと,T→∞での振る舞いが分かるように図示すればいいでしょう。 4は、零点振動がどうのこうのって話ですね。
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