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点（a，b）の存在範囲
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“結果的に”丸投げなんで削除されるでしょうが。。。。。 y=x＾3-3x上の点(t、t＾3-3t)における接線は、y＝(3t＾2-3)(x-t)＋t＾3-3t。 整理して、これをtの関数とみると、f(t)＝2t＾3-3xt＾2＋y＋3x＝0 。 これが、異なる (と解釈します) 3つのtの実数解を持つと良いから、(極大値)(極小値)＜0であると良い。 結果は、(y＋3x)(y-x＾3＋3x)＜0になります。
その他の回答 (3)
- HTNK
- ベストアンサー率0% (0/2)
まず、曲線y=x^3-3x上の点をpとします。 pの座標はp(t,t^3-3t)と表せますね。(t:実数) 次に点pにおける接線の方程式は y-(t^3-3t)=(3t^2-3)(x-t) で表せますよね。 この接線が点(a,b)を通るとすると b-(t^3-3t)=(3t^2-3)(a-t) となりますね。 それじゃあ、この式をどうしようかという話ですけど、今の場合接線が３本引けるという事は、接点pが３個あるということです。 ということで、上の式をtについて整理しますと 2t^3-3at^2+3a+b=0 となります。このtに関する３次方程式が相異なる３つの実数解を持つようなa,bの条件を考えれば良いわけですね。 ※「接線が３本引けるという事は、接点pが３個あるということです。」これはいつも成り立つわけではありません。 という、受験ではよくありがちな問題ですね。ただ、あんまり気持ちの良い回答ではないような気がします。 ちなみにANo.2さんの方法だと、とっても難しくなります。
お礼
ありがとうございました！！おかげで解くことができました。
- koko_u
- ベストアンサー率12% (14/116)
＜方針＞ 点 (a, b) を通る方程式を傾きを m として考えて、y = x^3 - 3x との接線となる時の m を求める方程式を得る。 m が ３つの解を持つような (a, b) を考える。
まず図を描いて下さい。 グラフの中でどこか、接線を３本引けそうな点はありますか？ それを探すことです。
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ありがとうございました！！