二点が直線に対して反対側にある条件

質問

二点P(1,-1)、Q(2,1)が直線ｙ＝ax+bに関して反対側にあるとき、点（a,b）が存在する範囲を図示せよ。

べつに図示してほしいわけではなくて、P(1,-1)が直線の上側Q(2,1)が下側の場合-1＞a+b,1＜２a+b。P(1,-1)が直線の下側Q(2,1)が上側の場合-1＜a+b,1＞2a+bという場合分けして解くという解答のが気になりました。たとえばｘ＝3/2やy=3/2のときのようにy軸やｘ軸に平行な直線の場合はどうなっているんですか？この二式はたしかに二つの点の間にありますよね？このような二式のような場合はちゃんと解答の式で網羅されていますか？

だれかお願いします！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

> ｙ＝ax+b
移項して
　ax-y+b=0
左辺をf(x,y)とおくと
　f(x,y)=0
が直線上の点(x,y)で平面上の領域の境界線になります。
直線上にない点(x,y)については
　f(x,y)≠0
つまり
　f(x,y)>0 又は　f(x,y)<0
が成り立ちます。
さらに直線（境界線）上にない異なる点(x1,y1),(x2,y2)について
　境界線の同じ側にあれば　f(x1,y1)とf(x2,y2)は同符号
　境界線の反対側にあれば　f(x1,y1)とf(x2,y2)は異符号
になります（これは必要十分条件）。

今の場合に当てはめると
　f(x,y)=ax-y+b
(x1,y1)=P(1,-1),(x2,y2)=Q(2,1)
点P,Qが直線f(x,y)=0 の反対側に存在する必十条件は
　f(1,-1)*f(2,1)=(a+1+b)(2a-1+b)<0　…（★）
となります。このa,bの不等式を満たす点（a,b）の存在領域を図示して添付します。存在領域は、2本の境界線：a+b+1=0と2a+b-1=0を描いて、境界線によって分割された領域内の代表点を（★）の不等式に代入して満たしていれば、その点を含む領域が(a,b)の存在領域と判定できます。各領域について同じことをして、(a,b)の存在領域を求めます。通常は境界線を挟んだ２点に対しては異符号になるので、不等式を満たす点を一つ見つければ、その点を含む領域と隣り合う領域は、存在領域になりません。点(a,b)の存在領域は図のように交互に存在します。

このやり方は
>　たとえばｘ＝3/2やy=3/2のときのようにy軸やｘ軸に平行な直線の場合
にも適用できます。
　f(x,y)=x-(3/2)
にP(1,-1),Q(2,1)を適用すれば
　f(1,-1)*f(2,1)={1-(3/2)}{2-(3/2)}=-1/4<0
なので点Pと点Qが
直線 x=3/2 で分割された隣り合う領域の反対側に存在する
と判定できます。

同様に
　f(x,y)=y-(3/2)についても
にP(1,-1),Q(2,1)を適用すれば
　f(1,-1)*f(2,1)={-1-(3/2)}{1-(3/2)}>0
なので点Pと点Qが
直線 x=3/2 で分割された隣り合う領域の同じ側に存在する
と判定できます。

このようにf(x,y)を使った不等式で判定したり、領域を求める方法は、直線と点の位置の上方、下方ということにこだわらずに、点の存在領域の判定をしたり、求めたりすることができます。

お礼

解決しました。何につまずいていたかというと、y軸に平行な直線の場合図示できるのに、何故答えに含まれていないのか？ということでしたが、そもそも問題でy=ax+bという指示があるのだから、y軸に平行な女苦戦なんてあるわけないと気づきました。

また、info22_の回答で境界線の同じ側にあれば　f(x1,y1)とf(x2,y2)は同符号
　境界線の反対側にあれば　f(x1,y1)とf(x2,y2)は異符号であることを利用する方法を学びました。

本当にありがとうございます。

補足

直線に関して２点（x1,y1）（x2,y2）が同じ側⇔ｆ（x1,y1）*f（x2,y2）＞０、

反対側⇔ｆ（x1,y1）*f（x2,y2）＜０
を使って解く方法はすごくわかりました。

でも、一番最初に質問した分にも書いているように、P(1,-1)が直線の上側Q(2,1)が下側の場合-1＞a+b,1＜２a+b。P(1,-1)が直線の下側Q(2,1)が上側の場合-1＜a+b,1＞2a+bという場合分けして解くという解法がいまだ気になりまして...。

info22_さんやmister_moonlightさんがおっしゃった解法のほうが一目瞭然なのはわかります。

お願いします...。

回答No.6

naniwacchi

#1です。

＞でも、一番最初に質問した分にも書いているように、
＞P(1,-1)が直線の上側Q(2,1)が下側の場合-1＞a+b,1＜２a+b。
＞P(1,-1)が直線の下側Q(2,1)が上側の場合-1＜a+b,1＞2a+b
＞という場合分けして解くという解法がいまだ気になりまして...。

直線の「上側」というのは y＞ ax+ bすなわち y- (ax+ b)＞ 0で表される領域、
「下側」というのは y＜ ax+ bすなわち y- (ax+ b)＜ 0で表される領域
であることはいいですよね？（まさに、正領域、負領域の話）
その領域に点Pや点Qがそれぞれ存在するということを示しているだけです。

そして、場合分けしたものを組み合わせたら、
点Pと点Qのどちらかが上だろうが下だろうが
｛ 点Pの座標に対する y-(ax+b)の値 ｝×｛ 点Qの座標に対する y-(ax+b)の値 ｝＜ 0

となりますよね。と言ってるだけなんですが・・・

回答No.5

info22_

#2です。

任意の直線の場合なら
　f(x,y)=ax+by+c=0
とすれば良いです。
点P(1,-1)と点Q(2,1)がこの直線の反対側にある必十条件は
　f(1,-1)f(2,1)=(a-b+c)(2a+b+c)＜0
となります。
　これは
「a-b+c＞0かつ2a+b+c＜0」または「a-b+c＜0かつ2a+b+c＞0」
　と等価です。
こうすればf(x,y)=0はx軸に平行な直線、y軸に平行な直線も含むので
P,Qが直線の反対側に存在する必十条件を一般的に表現できますね。

回答No.4

mister_moonlight

＞y=ax+bの場合はｙ軸に平行な直線を表示できなくて、ax-ｙ+b＝０の場合なら表示できるなら答えは解き方によって違くなるんのではないですか

人の文書はよく読め。
y=ax+bの場合はｙ軸に平行な直線を表示できなくて、ax-ｙ+b＝０の場合なら表示できる、なんて私がどこに書いた？
a＝0の時はx軸に平行な直線は表示できる、その時はy=ax+bで表示できる、と書いたはずだ。

回答No.3

mister_moonlight

これは、教科書に載ってる“正領域、負領域”の知識を使っているに過ぎない。

直線をｙ＝ax+bとし、f(x、y)＝ax-ｙ+bとする。2点(α、β)、(m、n)について
(1)　2点が直線に関して同じ側にあるときは　f(α、β)*f(m、n)*＝(aα-β+b)*(am-n+b)＞0　が成立する。
(2)　2点が直線に関して反対側にあるときは　f(α、β)*f(m、n)*＝(aα-β+b)*(am-n+b)＜0　が成立する。

という知識が前提になっている。
これをこの問題に適用すると、直線に関して反対側だから、
f(1、-1)*f(2、1)*＝(a＋1+b)*(2a-1+b)＜0　が成立する。
従って、(a＋1+b)＞0、(2a-1+b)＜0、or、(a＋1+b)＜0、(2a-1+b)＞0　が求める答えになる。

＞たとえばｘ＝3/2やy=3/2のときのようにy軸やｘ軸に平行な直線の場合はどうなっているんですか

直線を　ｙ＝ax+bと設定した段階で、既にy軸に平行な直線は除外されている。何故なら、ｙ＝ax+bは　y軸に平行な直線は表示できないから。
しかし、a＝0とすれば、ｘ軸に平行な直線は表示できるから　この直線は　その場合も含んでいる。

直線の表示方法はいろいろある。
しかし、全ての直線を表示できるのは、α*x＋β*y＋γ＝0　但し、αとβは同時に0にはならない、という表示しかない。

補足

y=ax+bの場合はｙ軸に平行な直線を表示できなくて、ax-ｙ+b＝０の場合なら表示できるなら答えは解き方によって違くなるんのではないですか？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
着眼点はいいと思いますが、少し勇み足なところも・・・？＾＾；

たとえば、a＝ 0, b＝ 3/2であれば、直線の方程式は y＝ 3/2となりますね。

ところが、x＝ 3/2を表すことはできません。
これは直線の方程式が y＝ ax+ bという形であり、aや bが実数である限り、
y軸に平行な直線を表すことができないのです。
（傾き：aをいくら大きくしたところで、y軸に平行にはできない）

もし、これも網羅した式にするのであれば、Ax+ By+ C＝ 0のように書かなければなりません。
この形であれば、B＝ 0とすることで x＝□の式を与えることができるようになります。

よって、問題で「y＝ ax+ b」と与えられた時点で、x＝□の直線は考えていないことになります。