- ベストアンサー
最大公約数の証明
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
ベズーの等式って初耳なんですが、 一般にaX+bY=cが整数解を持つための必要十分条件がgcd(a,b)がcを 割り切ること、と考えてよいですか？ とすると、nx+ay=1 nu+bw=1を辺々かけて、 (nx+ay)(nu+bw)=1 n^2xu+nxbu+aynu+aybw=1 n(nxu+xbu+ayu)+ab(yw)=1 これは、nX+abY=1が整数解X=nxu+xbu+ayu、Y=ywを持つことを意味する ので、 gcd(n,ab)が1を割り切る、すなわち、gcd(n,ab)=1 こんなんで良いのかな？ 直感的に明らかな事実ですがね・・・素因数を考えれば。
その他の回答 (2)
- koko_u
- ベストアンサー率12% (14/116)
>直感的に明らかな事実ですがね・・・素因数を考えれば。 素因数分解の一意性を証明するのに質問の命題が必要になります。 数学的には素数 p が ab を割り切るときに p が a または b を割り切るとは即答できません。
- guuman
- ベストアンサー率30% (100/331)
n・x+a・y=1 n・u+b・w=y とできるから n・x+a・n・u+a・b・w=1 すなわち (x+a・u)・n+w・(a・b)=1 よってgcd(n,ab)=1
お礼
ありがとうございます。 もしよろしければ >n・u+b・w=y の説明をお願いしてもいいでしょうか？ お手数かけます、すみません。
関連するQ&A
- 最大公約数を求めたい！
二つの数字の最大公約数を求めたいのですがどうしたらいいのかわからず困っています…。プログラムに関しては初心者なのでどなたか分かりやすく教えてもらえませんか？？ ＜さらにもし出来る方がおられたら…＞------------------------------------ 実は最終的にはある数（a（素数））があって、そのaと”たがいに素”である数（ｂ）をプログラムで求めたいんです…。 ある本によると適当な二つの素数ｐ、ｑがあるとしてこのふたつの積（つまりｐ＊ｑ）をｍとします。また、(p-1)(q-1)＝aとすると ”gcd(b,a)≡1(mod m)” という式を満たすんだそうです…。 ※この中にでてくる値で実際に分からないのは"b"のみです。 ※ここで書いているgcd(b,a)というのはaとｂの最大公約数のことです。 --------------------------------------------------------------------- かなり難しいのでこの質問の回答をいただくと本当に助かります。 よろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- Visual Basic
- 最大公約数、定理の証明
a,bを a=b=0 でない2つの整数とするとき a*r + b*s =(a,b) のような整数 r,s が存在する --------------------------------------- という定理があって、この定理を使って 次の定理を証明せよ、という問題なのですが… d=(a,b) 整数 n は、 n|d のとき、その時に限り a と b の公約数である … n|d は dはnで割り切れるという意味 どういうふうに導くのかわかりません。 d=(a,b)= a*r + b*s = t*n (tは整数) とおく、ここまで何となくやってみたのですが… 「公約数」であることを示す方法、目標が見えません。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明を教えてください
不等式の証明問題で分からないので教えてください。 ａ＞０，ｂ＞０のとき、次の不等式を証明しなさい。また、等合が成り立つ場合を調べなさい。 ａ＾３＋ｂ＾３≧ａ＾２ｂ＋ａｂ＾２ この問題がどうしてもわからないので、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高一数学です。なるべくお早めに・・（証明）
明日期末テスト（数Ａ）があります。出来ればいますぐ教えてください。問題には ★｜ａ｜＜１．｜ｂ｜＜１のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1)１＋ａｂ＞０ (2)｜ａ＋ｂ｜＜１＋ａｂ とあり、(2)が分かりません。きっと(1)を使うのだと思いますが・・。 それと、全く別の問題でもう一つ。（これも証明です） ★√~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ２（ａの２乗＋ｂの２乗）≧｜ａ｜＋｜ｂ｜ ＊上の√は、左の式の最後までかかります。 どうかおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明(やや発展)
お世話になっております。 a,b,cは実数、a+b+c=0であるとき、不等式 (|a|+|b|+|c|)^2≧2(a^2+b^2+c^2) を証明せよ。また、等号が成立つときはどのようなときか。 という証明問題について質問です。証明自体はそれほど難しくは無いのかな、と思ってますが…。 a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=0-2(ab+bc+ac)と出来ますから、 左辺-右辺=-{(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca}+2(|ab|+|bc|+|ca|)=2{(|ab|+ab)+(|bc|+bc)+(|ca|+ca)}…(1) 常に、|ab|≧-abであるから、|ab|+ab≧0、(bc、caについても同様)であるから、(1)≧0。与えられた不等式は成立つ。 ここで質問。等号成立条件が分かりません。不等式の証明より、|ab|=-ab(bc、caも同様)が成立つ時だと思うのですが略解によると、 a、b、cの少なくとも一つが0であるときなのだそうです。何故でしょう…。 a,b,cのうち少なくとも一つが0 ちゅうことは、a=0またはb=0またはc=0 ということになろうかと思います。ということは、更にabc=0 という式も言えるハズです。しかし、当方の不等式の証明の仕方が不適切なのか、abc=0 を導く根拠が見当たりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 絶対値を含む不等式の証明（２）
お世話さまです。 絶対値を含む不等式の証明にはほんとにお手上げです。 ふつうの不等式の証明はできていたのですが・・・。 次の不等式を証明しなさい。と言う問題で。 |a-b|<=|a|+|b| 私のこたえかた（見よう見まねで全然わかっていないのですが） |a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0 a^2+2ab+b^2-a^2-2ab-b^2<=0 0<=0 |a-b|^2-(|a|+|b|)^2<=0 よって|a-b|<=|a|+|b| 等号はa=b=0 絶対、おかしいとは思うのですが、 絶対値の不等式でなにをすればいいのかわかっていません。 上記の問題の解き方と絶対値の不等式の証明はなにをすればいいか ご教授ください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最大公約数 gcd(a,b,c) と一次合同式の解の存在
初等整数の証明で困ってます。 (1)gcd(a,b,c)はgcd(a,b)の約数であることを証明せよ。 (2)gcd(gcd(a,b),c)はgcd(a,b,c)の倍数であることを証明せよ。 また合同式の定理の証明について gcd(a,b)=1ならばax≡c(mod b)は解をもつ。 さらにこの合同方程式の一つの解をpとすると、すべての整数kについてp+kb も解である。逆にこの合同方程式の任意の解はp+kb と表わされる。 ax≡c(mod b) は b | (ax-b) を導けばよいのでしょうか？ お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明
不等式の証明 今私はいろいろな不等式についてまとめを作っているのですが、証明の仕方がわからないものと例題が見つからないものあるのです。 よかったら教えていただけないでしょうか？ 証明の仕方については、下の例のように方針も書いてくれるとありがたいです。 教えていただきたいものをはいくつかあるのですが、１つだけでも知っているものがあればお願いします 無いとは思いますが、私は高校３年生なので、大学に入ってからじゃないと習わないものなどはなるべく避けてほしいです (例) □□をしたいのでまず〇〇を考える 次に～～ では教えていただきたいものを書きます。 １：「ａ＜ｂ，ｘ＜ｙ」のとき「ａｘ＋ｂｙ＞ａｙ＋ｂｘ」 ２：１の３文字ずつバージョンなのですが、私の使っている参考書や問題集に載っていなかったので証明してほしい式すら書けません。ごめんなさい。 ３：f(x)が下に凸のとき、{f(a)＋(b)}/2≧f{(a)＋(b)/2}の例題
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます！ 理解することができました。 わかりやすく説明してくれてありがとうございます。両辺同士をかけるというのもやってみましたが、nとabでまとめるというのを思いつきませんでした。