- ベストアンサー
標本数をもとめる問題が解けません。。
√n(Xバー－μ)/σが標準正規分布に従うことを利用すると、信頼係数95%、E=｜Xバー-μ｜としてn≧(1.96/E)^2×σ^2を得る。 いま、学生の突き当たり小遣い額を(5,000～30,000）の区間にあるものとして、平均的な月当たり小遣い額を±3,000円の誤差で調査するためには、標本数は最低どのくらい必要か？ という問題が解けずにいます。 どなたか分かる方がいらっしゃいましたら是非教えてください。 よろしくお願いします。
- goahead1895
- お礼率51% (19/37)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
私が察するにこういうこと（http://homepage2.nifty.com/nandemoarchive/toukei_hosoku/hyohon.htm）がしたいのではないでしょうか？ 恐らく意図しているのは標本数ではなくて標本の大きさ(=サンプルサイズ)でしょう。 それでNo.1さんがおっしゃるように, > もう少し、問題を整理したほうが良いかも・・・ ということですね。数式を書く場合にも他の回答者が分かりやすいように心がけるべきです。例えば√n(Xバー－μ)/σと書かれても,最初のルートはどこまで掛かっているのか分からないので,sqrt()で記すべきです。Xバーなどと書かずにX'などと記して,X'は標本平均値と添え書きした方が分かりやすいと思います(まぁ,Xバーでも標本平均だなとわかるんですがね)。他のものについても,ミューだとかシグマが何を意味するのかを添え書きした方がよいです。
その他の回答 (1)
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
σは既知？ >>E=｜Xバー-μ｜としてn≧(1.96/E)^2×σ^2を得る。 というのが良くわからない・・・ μの信頼度９５％の信頼区間は （Xバー－1.96σ/√n、Xバー＋1.96σ/√n） なので、区間の幅は2×1.96σ/√nだから、これを3000以下に するようにnをとればよいのでは。 でも、 >>学生の突き（→月）当たり小遣い額を(5,000～30,000）の区間にある ものとして とあるので、小遣い額の分布は正規分布でないのかな？ それとも、近似的に正規分布とみなすのかな？ あるいは、標本が(5,000～30,000）であるという条件付で考える？ もう少し、問題を整理したほうが良いかも・・・
関連するQ&A
- 標本数の求め方についての疑問
標本数の求め方についての疑問 二つの問題があったのですが、 【例】ある工場で生産される製品の重さを無作為抽出した標本で検査したい。予備調査の結果、この製品の重さには約10(g)の標準偏差があることが分かっている。信頼度95%で誤差の範囲を1(g)以内で推定するには，標本の大きさを何個にすればよいか． （解答）誤差 ＝z・σ/√n つまり、式は 1.96・10/√n＝1 n≧= 384.16 … 385個 と書かれています。次に、 【１】母標準偏差30(g)である大量の玉葱から標本を無作為抽出する。母平均の95%信頼区間の幅（つまり、誤差の２倍）を3(g)以下で得るには，標本の大きさを何個にすればよいか。 （解答）誤差×2＝z・σ・2/√n つまり、標本数を求める式は 1.96・30・2/√n＝3 n≧1537個 とありました。 ここで疑問なのですが、なぜ【例】の問題では、誤差×2（z・σ・2/√n）ということをしないのでしょうか。統計初心者なので詳しく解説して頂けると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 区間推定の問題
鳥居泰彦先生の書いた「はじめての統計学」という統計学の入門書の153頁にある問題なのですが理解できません。教えていただきたいです。 問題文：あるエレベーター(11人乗り)の利用客の一人一人の体重の母標準偏差は、σ=10kgである ことがわかっている。利用客の中から121人を選んで調査したところ、標本の平均体重は 65kgであった。 (Question)：信頼係数95%のもとでは、満員(11人)での総体重をどのくらいに見積もればいいか。区 間推定せよ。 エレベーターを利用する人達の体重xは正規分布に従っていて、x：N(μ,10^2)である。 n人の体重ｘの和の分布は正規分布の再生性より、N（ nμ , n*10^2 ）に従っている。 つまり、11人の体重の和の分布は、N（ 11*μ , 11*10^2 ）に従っていることになる。 体重xの母集団から11人を標本抽出したときの標本平均は、N（ μ , 10^2/11 ）に従う。 N ( μ , 10^2/11 )に従う標本平均(平均体重)が１１人集まった時の総体重は、標本平均を11倍したと考えると、標本平均を11倍した総体重の分布は、N （ 11μ , 11^2*10^2/11 ）に従うので、総体重の母平均11μを信頼係数95％で区間推定すると、 65*11 - 1.96*10*√(11) ≦ 11μ ≦ 65*11 + 1.96*10*√(11) 715 - 1.96*33.1662 ≦ 11μ ≦ 715 + 1.96*33.1662 650 ≦ 11μ ≦ 780 となる。 以上の様に考えると答えが合うのですが、どうもスッキリしません。理由としては、標本平均を11倍したと考えましたが、標本平均は正規分布に従っているから標本平均を11人分足したものは正規分布の再生性より、N （ 11μ , 11*10^2/11 ) に従うので、総体重の分散は10^2となり、総体重の標準偏差は10になってしまい、答えと合わなくなります。 また、標本の平均体重65kgは121人を選んで調査したと問題文に書いてありますが、これは121人分の体重を加えて121で割った値なのでしょうか？それとも11人を1つの標本として11回抽出して、11回平均体重を出して、この平均体重の平均が65ｋｇなのでしょうか？だとしたら根本的に間違っているきがします・・・。 この問題の解き方を教えていただきたいです。正規分布の再生性の理解に問題がありましたらご指摘ください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 統計の問題です。
統計の問題です。 答えがなく困っています。よろしくお願いします。 x1,x2,…,xnが平均μ、分散1の正規分布N(μ,1)をしている母集団からの大きさnの無作為標本であるとする。xバー=Σ[i=1→n](xi/n)と置く。 標準正規分布上側確率0.025の点は1.96であることを用いよ。 1)xバーの標本分布を与えよ。 2)μの95%信頼区間を求めよ。 3)帰無仮説H0:μ=μ0を対立仮説H1:μ≠μ0に対して有意水準0,05で検定するときの棄却域を求めよ。 4）3)の検定問題において、xバーの値を固定した時、棄却されないμ0の値の全体と2)の信頼区間との関係を述べなさい。 一応解いた答えを載せますが、全部自信がないです。 1)f(xバー)=1/√2πexp(-(x-μ)^2/2) 2)P(|(xバー-μ)/1|=0.95 よって、μ-1.96≦xバー≦μ+1.96 3)棄却域Rは、R<-1.96,1.96<R
- ベストアンサー
- 数学・算数
- χ^2分布と標本の関係
命題：正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出したとき， Z＝{(X_1－μ)^2＋(X_2－μ)^2＋…＋(X_n－μ)^2}/σ^2 は自由度nのχ^2分布に従う． というのは理論的に数式から導かれたものなので，納得できました． ところが， 命題：正規分布N(μ，σ^2)に従う正規母集団から，大きさnの標本X_1，X_2，…，X_nを無作為抽出し， 標本平均X＝(X_1＋X_2＋…＋X_n)/n を作ると， Z＝{(X_1－X)^2＋(X_2－X)^2＋…＋(X_n－X)^2}/σ^2 は自由度n－1のχ^2分布に従う． が成り立つ理由が分かりません．数式を用いて理論的に教えて下さい．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の標本平均について 教えてください。
母集団から大きさnの無作為標本を抽出しそれらの変量xの値をX1.X2.….XnとするときXバー=(X1+X2+…Xn)/nを標本平均という。標本平均Xバーの確率分布と母集団分布関係を調べよう。母平均m,母標準偏差σの母集団から大きさnの無作為標本を抽出しそれらの変量xの値をX1.X2.….Xnとする。各Xkはどれも大きさ１の標本で母集団分布に従う確率変数である。よってE(X1)=E(X2)=E(Xn)=m σ(X1)=σ(X2)=σ(Xn)=σであるしたがって E(Xバー)=mになる。 また復元抽出の場合はX1.X2.….Xnは互いに独立な確率変数であるから分散V(Xバー)=｛V(X1)+V(X2)+…+V(Xn)｝/n＾2というところがわかりません。 なぜn＾2で割ることになるのですか？ どなたか教えてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 正規母集団の標本平均と標本分散の独立性
X_1,…,X_nを正規母集団から取った大きさnの標本とします。 簡単のため、母集団の平均は0、分散は1と仮定します。 このとき標本平均X=(X_1+…+X_n)/nと 標本(不偏)分散s=((X_1-X)^2+…+(X_n-X)^2)/(n-1) を考えます。 Xは平均0、分散1/nの正規分布に、 (n-1)sは自由度n-1のχ^2分布に従うと思いますが、 このXとsの独立性の証明はどうやったらよいのでしょうか？ 結合分布の計算にX_i^2が混じるので大変に面倒です。 非芯χ^2分布の特性関数の計算などを使うのでしょうか。 方針は立つものの、あまりに煩雑な計算になりそうで尻込みしています。 簡便な計算法をご存知であれば教えていただきたく思います。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規分布の問題
大学院進学のために院試の過去問を解いています。 その中で正規分布の問題があり、私の通っていた大学ではここまでは勉強していなかったために 解き方が全く分かりません。 大学の先生に聞いてみても良いかと思いましたが、その先生とは全くといって良いほど接点がなく、また、違う大学の院試なので聞いても教えてくれません。 自分で調べるとしても他の部分の勉強のためにこの問題を解くのに時間がありません・・・ 分かる方がいれば教えてもらないでしょうか？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 平均μ（ミュー、マイクロとも）、分散σ^2（シグマ二乗）の正規分布N(μ σ^2)から独立に抽出されたn個の標本平均をXとする。 問1 母分散σ^2が既知の場合、母平均μの信頼度100(1-α)%の信頼区間を求めよ。但し、有意水準α、標準正規分布の上側確率が100(α/2)%となる点の値をZ(α/2)とする。 問2 測定値は母分散がσ^2=0.04の正規分布に従うとする。母平均μの信頼度95%での標本誤差を0.1以下にしたいとき、最小限必要な標本の大きさnを求めよ。但し、標準正規分布の上側確率が2.5%となる点の値Z(0.025)は1.96である。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 抽出する標本数について
100,000個のケーキにおける良品率を調査する場合、 標本誤差：0.1％、信頼水準：99.7％（λ＝3）、標本比率：0.99999 と設定した場合、 標本数は89.99≒90となったのですが、 これで抽出した標本数は正しいと言えるのでしょうか？ 標本比率は0.5にして計算すべきなのでしょうか？ また、信頼水準λは3以上はないのでしょうか？ 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
すみません。宿題にその要に記述してありましたので、そのまま記入させていただきました。 問題を整理しますと、 (1)前提 (√n)x(X'－μ)/σが標準正規分布に従うことを利用すると、信頼係数95%、E=｜X'-μ｜として、n≧(1.96/E)^2×σ^2を得る。 X':標本平均 μ:一次モーメント σ:標準偏差 σ^2:分散 (2)調査内容 学生の月当たり小遣い額を(5,000～30,000）の区間にあるものとし、平均的な月当たり小遣い額を±3,000円の誤差で調査したい。 (3)解答要求 その際に必要なサンプルサイズは最低どの位か？ これが問題を整理したものになると思います。 母集団の分散さえ分かれば、分かるのだと思いますが、どのように推定すればいいのか良く分かりません。 よろしければアドバイスをいただけるとありがたいです。 何度も申し訳ありません。