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二階非同次型線形微分方程式の解法と行き詰まり
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下の“微分方程式を解け”という問題がわかりません。 (1) (x+y)+(x-y)(dy/dx)=0 (2) xy(dy/dx)=x^2＋y^2 この2つなんですが、一応、同次形微分方程式の範囲なので y/xの形にしてみたんですが・・・ (1) (x-y)(dy/dx)=-(x+y) (dy/dx)=-(x+y)/(x-y) 右辺の分母分子をｘで割る (dy/dx)=-(1+y/x)/(1-y/x) y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx) よって u+x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) x(du/dx)=-(1+u)/(1-u) -u x(du/dx)=-(1+u^2)/(1-u) (1-u)du/(1+u^2)=(1/x)dx 両辺を積分というとこの左辺のせきぶんがわかりません。 というかここまでまちがってるかもしれません。 (2) (dy/dx)xy=x^2+y^2 両辺をx^2でわる。 (dy/dx)(y/x)=1+(y/x)^2 y/x=uとおくとy=xuよって(dy/dx)=u+x(du/dx)よって u+x(du/dx)=(1+u^2)/u x(du/dx)=(1+u^2)/u -u x(du/dx)=(1/u) udu=(1/x)dx 両辺を積分 (1/2)u^2=logｘ+Ｃ よって(1/2)(y/x)^2=logｘ＋Ｃ ｙ^2＝2x^2(logx＋Ｃ) となり、とりあえず答えは合いました。過程はあってますか？ あと、最終的な答えの形なんですがｙ=で答えるとかｘ=で答えるとか ってありますか？
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補足
(1+x^2)(c"x+2c')-2x(c'x+c)+2cx =c"x+2c'+c"x^3+2c'x^2-2c'x^2-2cx+2cx =c"x+2c'+c"x^3 =x(1+x^2)c"+2c' となると思うのですが・・・ もし(x+x^2)c"+2c'=(1-x^2)/xであるならば 同次形を考えて (x+x^2)c"+2c'=0 (x+x^2)c"=-2c' (1/c')c"=-2/(x+x^2) c'=uと置くと -(1/u)u'=2/(x+x^2) 両辺積分して -log|u|=∫2{1/x(1+x)}dx -log|u|=2∫{(1/x)-1/(1+x)}dx -log|u|=2{log|x|-log|1+x|}+C1 となり計算が楽になって助かるのですが。