微分方程式の解答についての質問
- 質問者は微分方程式についてわからない点があります。具体的には、与式を微分した結果の符号について疑問を持っています。
- 質問者は与式を微分し、解答の両辺に異なる符号が現れないことに疑問を持っています。Cの値を±Cとしているため、符号がおかしくなることは理解していますが、解答の際には自分で符号を考慮してもよいのかということです。
- 質問者は、微分方程式の解答方法と符号の扱いに関してアドバイスを求めています。
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微分方程式についてわからないことが・・・
今 y'=-1/xy の微分方程式をときました。 ∫y dy=∫-x dx 1/2×y^2=-log|x|+C =-log{Cx{ e^(1/2×y^2)=-|Cx| =Cx これを微分方程式の解とします。 これを微分して与式になることを確認したいのですが 答えの両辺をxで微分して ye^(1/2×y^2)×y'=C 両辺にxかけて xyy'e(1/2×y^2)=Cx =e^(1/2×y^2) よってy'=1/xy となり-がでてきません。 計算途中でC=±Cとしているので符号がおかしくなるのはわかりますが、確認の際は勝手にそれを考慮して-をつけてもいいのでしょうか? どのように解答をかいていけばいいのでしょうか? わかるかたお願いします。
- kzmsreo
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y'=-1/(xy) y'y = -1/x y^2/2 = -log|x| + C e^(y^2/2) = e^C/|x| です.eの指数にするときに, 指数のマイナスの処理を間違ってます, このとき 両辺をxで微分すると 左辺の微分 = y' y e^(y^2/2) x>0 のとき 右辺の微分 = -e^C/x^2 = e^C/x (-1/x) = e^C/|x| (-1/x) = e^(y^2/2) (-1/x) よって,yy' e^(y^2/2) = (-1/x) e^(y^2/2) yy' = -1/x x<0のとき 右辺の微分 = e^C/x^2 = e^C/x (1/x) = -e^C/|x| (1/x) = e^C/|x| (-1/x) = e^(y^2/2) (-1/x) よって y' y e^(y^2/2) = e^(y^2/2) (-1/x) yy'=-1/x
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