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常微分方程式の問題です。
常微分方程式の問題です。 x^2dy/dx+xy・log(底e)(y)+y=0・・・・・・(1) の一般解を求めよ。 という問題で、自分で解いたのですが合っているかがわからないので お願いします。 両辺をxyで割って、 xy・dy/dx+log(y)+1/x=0・・・・・・(2) ↑y・log(y)とyが出てくると、不都合に感じたため。不必要?? xy・dy/dx+log(y)＝－1/x・・・・・・(3) xy・dy/dx+log(y)＝0 を解くと、 log(y)=c/x （ｃ：積分定数）・・・・・・(4) 定数変化法を用いて、 y'/y=(c'x-c)/x^2 (3)に代入して、 c'=-1/x よって、ｃ(x)＝-log(x)+c (4)に代入して、 log(y)=(-log(x)+c)/x となったのですが、これでいいのでしょか。 また、解答の形としては上の形のまま答えてダイジョブでしょうか。 よろしくお願いします。
- and1_wb
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>log(y)=(-log(x)+c)/x >となったのですが、これでいいのでしょか。 y={x^(-1/x)}e^(c/x) とした方が言いかと思います。
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- alice_44
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何故だか、答えは正しいのだけれど、 そもそも (1)→(2) の変形が間違っているので、 その後、何がどうなって正解が出てきたのか は、謎です。 (1) を正しく xy で割ると、 x(y'/y) + log y = -1/x になります。 左辺 = (x log y)' ですから、 後は積分できるでしょう。
お礼
回答ありがとうございます。 ＞そもそも (1)→(2) の変形が間違っているので、 すいません。 打ち間違いです・・・・・・ 答えはあっているということなので、良かったです。 ありがとうございました。
- Tacosan
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#1 が指摘しているのは 「x^2 を xy で割って xy になるの?」 ってことではないかと.
お礼
指摘ありがとうございます。 そのようです。打ち間違えているのに気付かず、質問してしまいました。 本当にすいません。
- alice_44
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とりあえず、(2) の変形が違う。
補足
回答ありがとうございます。 ＞とりあえず、(2) の変形が違う。 どう違うのでしょうか。確かに変形に違和感があるのですが 普通に変形をせずに積分するやりかたがわからなかったので、 あのようにしたのですが・・・・・・ やり方を教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。
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