因数分解

質問

以下の式を因数分解せよ
x(y-z)^5+y(z-x)^5+z(x-y)^5

対称式やら交代式やら使うみたいなのですが、
教科書を読んでも理解に苦しんでおります。

どうやれば解けるのでしょうか？
教えて下さい。
簡単に説明して頂けると大変助かります。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

先ずは、多項式の次数と対称式・交代式について、しっかりと理解することが大切なようですね。

＞１）の交代式は、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつことを覚えておけば良いのでしょうか？
そうです。ｘ、y、ｚの交代式は必ず、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつと覚えておきましょう。
ただし、交代式の場合だけです。対称式の場合には当てはまりません（因数に持つ場合も持たない場合もありますし、そもそも因数分解できない場合もあります）。

＞７）、８）で代入している数値はどこから求められてきたのでしょうか？
これらの数値は任意なので何を持ってきてもかまいません。ただ、計算を簡単にするために、どれかを０にすることはよく採られる方法で７）はその例です。８）のケースは、因数(x - y)(y - z)(z - x)の計算は（０以外で）１つ違いの値を入れたほうが楽になると思えるからです。

＞後、例えばこの式が
＞x(y-z)^4+y(z-x)^4+z(x-y)^4
＞のように4次であった場合の g(x,y,z) は、
＞g(x,y,z)=a(x + y + z)^2 + b(xy + yz + zx) + cxyz
＞となる？
ここには２つの誤りがあります。
一つは与式の次数が５であること、もう一つは与式は対称式であることです。
x、ｙ、ｚの対称式とは、x、y、ｚのうちのどの2つを入れ換えても式が不変である式のことです。
また、x、ｙ、ｚの交代式とは、x、y、ｚのうちのどの2つを入れ換えても式の符号（プラス・マイナス）が反転する式のことで、もっとも簡単なものは(x - y)(y - z)(z - x)です。
ですから、次の関係が成り立ちます。
（対称式）＝（対称式）×（対称式）、または、＝（交代式）×（交代式）
（交代式）＝（交代式）×（対称式）
対称式を「＋」、交代式を「－」とイメージすれば簡単に覚えられますよね。

この問題のケースでは、交代式ではないので因数の当てがありません。対称式で考えると５次なので、与式は
a(x + y + z)^5 + b(x + y + z)^3×(xy + yz + zx) + c(x + y + z)^2×xyz + d(x + y + z)(xy + yz + zx)^2 + e(xy + yz + zx)xyz
と置き換えることになります。
ちなみに、与式は次のようになりました。
= (x + y + z)(xy + yz + zx){(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)} - 9xyz(x + y + z)^2 + 27xyz(xy + yz + zx)
= {(x + y + z)(xy + yz + zx)-9xyz}{(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)}

＞また、3次の場合は、
＞g(x,y,z)=a(x + y + z) + b(xy + yz + zx) + cxyz
＞となる？
3次といわれるものは、4次のx(y-z)^3+y(z-x)^3+z(x-y)^3の誤りであるとしてお答えします。
この問題では、与式は交代式ですので、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもちます。それ以外の因数を質問者のようにg(x,y,z)と置けば、g(x,y,z)は、
g(x,y,z) = a(x + y + z)
になります。
ｘ、ｙ、ｚの次数というのは、x、ｙ、ｚを任意の組み合わせでいくつ掛けているかを示すものです。ですから、x + y + zは1次ですし、xy + yz + zxは2次、xyzは3次です。
この問題では、g(x,y,z)は1次なので、1次のものしかもち得なえません。

＞6次の場合は、
＞g(x,y,z)=a(x + y + z)^4 + b(x + y + z)^2(xy + yz + zx) + cxyz
＞となる？
この問題の場合も、7次で与式がx(y-z)^6+y(z-x)^6+z(x-y)^6の誤りであるとしますと、この場合も上記の5次（質問者が4次と書いているもの）と同様に、対称式です。対称式の考えで解こうとすると与式を次のように置き換えることになります（この方法で因数分解できるのだろうか？）。
a(x + y + z)^7 + b(x + y + z)^5×(xy + yz + zx) + c(x + y + z)^4×xyz + d(x + y + z)^3×(xy + yz + zx)^2 + e(x + y + z)^2×(xy + yz + zx)×xyz + f(x + y + z)(xy + yz + zx)^3 + g(x + y + z)×(xyz)^2 + h(xy + yz + zx)^2×xyz
ちなみに、私は挫折しました。分かる人がいたら教えて欲しいものです。

以上のことを眺めますと、対称式や交代式の考え方で解けて計算がさほど複雑にならない、当初の６次の式が問題として相応しいことが分かりますか？　出題者の意図はそこにあると思われます。