三次関数のグラフと方程式

質問

三次関数の問題がよくわかりません。教えてください。
問題は以下のとおりです。
3次方程式x3－3px＋q＝0について次のことを示せ。
〔1〕相異なる3個の実数解をもつための必要十分条件は
　　　　p＞0　かつ　4p3－q2＞0
〔2〕相異なる二個の実数解を持つための必要十分条件は
　　　　p＞0　かつ　4p3－q2＝0
〔3〕ちょうど一個の実数解をもつときの必要十分条件は
　　　　p≦0　かつ　4p3－q2＜0

ほんとにわからなくて困っています。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#40706 · ベストアンサー

ｙ＝x3－3px＋q

のグラフの増減を調べてはどうですか。

微分して　増減表で・・・・・

単調増加ならば　解は１つ。

そうでなければ　波みたいな形のグラフで、減少区間があれば、解は２つ（極大ｏｒ極小値＝０ならば）

または３つ・・・

というような感じではないですか。

回答No.4

tekcycle

どの辺が解らないのか明確にして貰えませんか？
三次関数の実数解の条件が解らないのか、
三次関数のグラフが書けないのか、
実は二次関数の実数解が解らないのか、
二次関数が実数解を持つ(持たない)というときの、グラフとｘ軸の関係がどうなるか知らないのか、
必要十分について解らないのか。

ざっと考えてこれだけのポイントが考えられます。
数学が苦手な人が一つ一つのポイントを通過せずにこういう問題に手を出すとお手上げの筈ですし、解答解説を見ても身に付かないと思います。
また、独習するなら解答解説が詳しい物を使いましょう。

まず、その三次関数のグラフってどんな感じか書いてみて下さい。
結果的に嘘のグラフでも良いので。
三次関数のグラフってどんな物でしたっけ？
(三次)方程式が解を持つってグラフがどうなっていることでしたっけ？
ｘによってｘ^3－３ｐｘ＋ｑの計算値を０にしてやれば良いんですよね？
それはｙ＝ｘ^3－３ｐｘ＋ｑなら、ｙ＝０の時のことだってのは解っていますか？
それはグラフでどうなっていることでしたっけ？

では、上記の解らない点についてお返事下さい。

回答No.3

take_5

f(x)＝x3－3px＋qとして、xについて微分する。
f´(x)＝3(x＾2－p)

<1>p≦0のとき、常に　f´(x)≧0であるから1個の実数解を持つ。
<2>p＞0のとき、f´(x)＝3(x＋√p)(x-√p)となる。
　x＝-√pで極大値、x＝√pで極小値をとる。そして、f(√p)*f(-√p)＝q＾2-4p＾3。
(1)相異なる3個の実数解をもつための必要十分条件は　q＾2-4p＾3＜0.
(2)相異なる二個の実数解を持つための必要十分条件は　q＾2-4p＾3＝0.
(3)ちょうど一個の実数解をもつときの必要十分条件は　q＾2-4p＾3＞0.

貴方の書かれている解で〔3〕は誤りです。

p≦0　又は　q＾2＞4p＾3＞0　です。

回答No.2

noname#40706

Ａ１です　　追加

（３）の　4p3－q2＜0

の意味がよくわかりませんが・・・・