2次方程式の証明です

質問

p、qを相異なる実数とすると、2つの2次方程式x^2+px-1=0、x^2+qx-1=0は、それぞれ相異なる2つの実数解を持つことを示し、また、2つの方程式の解は、数直線上に交互に並ぶことを証明せよ。
この問題の解答解説をお願いします！
自分でも解いたのですが、写真のように、f(a)>g(a)、g(b)<g(b)になればaとbの間に解を持つことになると思ったのですが、p>qという条件からg(b)<g(b)にならずに行き詰まってます、

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回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

f(x)=0 の2解を小さいほうからa,bとする。
f(0)=-1<0であること、y=f(x)のグラフが下に凸な放物線であることからa<0<bである。
また、解と係数の関係よりab=-1なのでa=-1/bである。

g(x)=0 の2解を小さいほうからc,dとする。
同様にc<0<dであり、c=-1/dである。

a-c = (-1/b)-(-1/d) = (b-d) / bd であり、bd>0なので
a-c と b-d は『共に正』『共に負』のどちらか。
共に正であれば a>c , b>d より c<a<0<d<b
共に負であれば a<c , b<d より a<c<0<b<d
いずれの場合も題意をみたす。（証明終わり）

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

muturajcp

>g(b)<g(b)になれば…ではなく
f(b)<g(b)です
>g(b)<g(b)にならずに…ではなく
f(b)<g(b)です

f(b)<g(b)にならずにと考える前に
なぜ
f(a)>g(a)
となったのかその根拠を考えましょう

f(a)-g(a)=pa-qa=a(p-q)
だから
p-q>0だから
a>0であればa(p-q)>0といえますが
なぜ
a>0
となったのかその根拠を考えましょう
f(x)=0の解をa,bとしたのだから
f(x)=(x-a)(x-b)=x^2+px-1
だからx=0とすると
f(0)=ab=-1<0
だから
a,bの大きい方が正小さい方が負となる
a>bだから
a>0>b
だから
a>0
となるから
f(a)-g(a)=pa-qa=a(p-q)>0
となり
f(a)>g(a)
がいえるのです

g(b)-f(b)=qb-pb=b(q-p)
だから
b<0,q-p<0
だから負*負=正だから
b(q-p)>0
だから
g(b)-f(b)=qb-pb=b(q-p)>0
だから
g(b)>f(b)
∴
f(b)<g(b)

回答No.2

kiha181-tubasa

「それぞれ異なる２つの実数解をもつことを示す」全般は証明できているので省きます。

質問者の使われた文字はそのまま使って説明します。
f(a)=0, f(b)=0
a^2+pa-1=0, b^2+pb-1=0……(1)

g(x)=0の2つの解がf(x)=0の2つの解と交互に並ぶ条件は
y=g(x)のグラフがaとbの間で一度だけx軸と交わることです。
つまりg(a)とg(b)が異符号つまり
g(a)g(b)<0
を示せばよいのです。
（a,bやp,qの大小は問いません）
では，先に進みましょう。

g(a)g(b)
=(a^2+qa-1)(b^2+qb-1)
=(qa-pa)(qb-pb)　　　(∵(1)よりa^2-1=-pa, b^2-1=-pb）
=ab(q-p)^2
ここで，a,bは方程式x^2+px-1=0の解であるから解と係数の関係より
ab=-1
よって
g(a)g(b)=-(q-p)^2<0
これで証明されました。