電力密度の求め方

質問

電界と磁界が時間依存をもっていたときに、
時間平均電力密度を求めるとき、それぞれの実数部を用いて
1/T =∫(0～T)[1/2(E+E*)×1/2(H+H*)]dt
　　=1/4(E×H*+E*×H)
　　=Re[1/2(E×H*)]

となるのはなぜですか？
(E*は複素共役を表しています)

回答No.2

black_monkey

black_monkeyです。
【訂正】
初めに、No1の記述に誤記がありましたので以下の通り訂正させていただきます。
（修正前）
「
lim(1/T)*∫sin(2*ω*t)dt
=lim(1/T)*(1-cos(2*ω*t))/(2*ω)=0
」
（修正後）
「
lim(1/T)*∫sin(2*ω*t)dt
=lim(1/T)*(1-cos(2*ω*T))/(2*ω)=0
」
【補足説明】
otoko20001さんの記述を一時的に使用させていただきます。
(1)
lim(1/T/4)∫E×H+(E*)×（H*)dt=0
となることは、otoko20001さんは理解されたとして話を進めさせていただきます。(2)　lim(1/T/4)∫(E*)×H+E×（H*)dt=lim(1/T/2)∫Re((E*)×H)dt
の部分について少しだけ詳しくコメントさせていただきます。
以下より、No1で使わせていただいた表式を利用させていただきます。
(3) lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*Re(vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω)))dt
ベクトルvqを(1)で導入します。
(4)　vcq(x,y,z,ω)=vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))
ベクトルvcqは、成分が複素数からなるベクトルです。x,y,z軸の単位ベクトルを
vux,vuy,vuzとし,ベクトルvcqの成分をcqx,cqy,cqzとしますと、

(5)　vcq(x,y,z,ω)
=vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))
=cqx(x,y,z,ω)*vux+cqy(x,y,z,ω)*vuy+cqz(x,y,z,ω)*vuz

(6)　cc(vcq(x,y,z,ω))
=cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
=cc(cqx(x,y,z,ω))*vux+cc(cqy(x,y,z,ω))*vuy+cc(cqz(x,y,z,ω))*vuz

lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vcq(x,y,z,ω)+cc(vcq(x,y,z,ω))
｝dt
ここで(5),(6)式を代入しますと、
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
(cqx(x,y,z,ω)+cc(cqx(x,y,z,ω)))*vux+
(cqy(x,y,z,ω)+cc(cqy(x,y,z,ω)))*vuy+
(cqz(x,y,z,ω)+cc(cqz(x,y,z,ω)))*vuz
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
2*Re(cqx(x,y,z,ω))*vux+
2*Re(cqy(x,y,z,ω))*vuy+
2*re(cqz(x,y,z,ω))*vuz
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
2*Re(cqx(x,y,z,ω)*vux+cqy(x,y,z,ω)*vuy+cqz(x,y,z,ω)*vuz)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛2*Re(vcq(x,y,z,ω))｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*Re(vcq(x,y,z,ω))dt

以上の計算結果をまとめますと
lim(1/T)*∫0.5*0.5*｛
vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω))+
cc(vce(x,y,z,ω))×vch(x,y,z,ω)
｝dt
=lim(1/T)*∫0.5*Re(vce(x,y,z,ω)×cc(vch(x,y,z,ω)))dt

と題意の式が導出できます。
ちなみにvux,vuy,vuzは通常の基底ベクトルなので、cc(vux)=vux、……、cc(vuz)=vuzです。
誤記・誤計算・ウソがありましたらゴメンなさい。