- ベストアンサー
フェルマーの定理の変形バージョン
n>=3以上とするとき、 x^n＋ｙ^(n+1)＝z^n を満たす自然数x,y,zは存在しますか？ フェルマーの定理と違うところは、ｙ^n ではなく、y^n*y=y^(n+1) となっているところです。 この公式を満たすｘｙｚは存在しますか？
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (1)
- maimait
- ベストアンサー率38% (5/13)
#1です。 >「数学で、二つの数・式の一方がそれぞれ他で整除できない関係にあること。」 素の意味は整数どうしの場合は、「互いに素（最大公約数が 1 ）」の意味でいいかと。例にあげたx,y,zの組は、全て最大公約数がyですので「素でない」としたわけです。 質問文では、どんな数でもx、y、zが見つかれば題意を満たしているので特に断る必要はありませんでした。 しかし、互いに素でない整数が条件だと、式変形だけで簡単にみつけらるわけだし、もしかしたら各数が整数倍でないケース（たとえば共通の素因数がないや素数同士）を知りたかったのかなとも思い、「その場合は今回の方法は当てはまりませんけど」という意味で書いただけです。 ちなみに、整数倍でないケースはちょっと判りません。
お礼
ありがとうございましたm(_ _"m)ペコリ とてもよくわかりました。 素でない数で大丈夫ですので、これで解くことができました。 本当にありがとうございました。ペコリ(o_ _)ｏ))
関連するQ&A
- フェルマーの定理の式でn=-1,-2のときは?
x^n+y^n=z^nの自明でない整数解を求める問題があります。 n≧3のときには、存在しません。フェルマーが予想し、ワイルズが証明しました。 n=2のときには、ピタゴラス数といってたくさん解がありますが、たとえば、 d , m , n を任意の自然数として， x = d(m^2 - n^2), y = 2dmn, z = d(m^2 + n^2) といった解があります。 また、一つのピタゴラス数から次々に別のピタゴラス数を生成し、それで全部が尽くされる方法も知られています。 http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html n=1のときには、つまんない問題になります。 n=0のときには、存在しません。 n≦-3のとき、存在しないことは、すぐに考えれば分かると思います。 なので、問題なのは、n=-1,-2のときで、このとき解は無数に存在しますが、どう書き表せるのでしょうか? または、解を次々生成していく方法や、性質などはあるのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- フェルマーの最終定理
フェルマーの最終定理ってありますよね?Ｘのｎ乗＋Ｙのｎ乗＝Ｚのｎ乗 これに３以上の整数解は(ｎの)ないってやつですよね? これの証明ってどんなのですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フェルマーの最終定理の代数での解答です。どうでしょう？
Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｎを０でない自然数とします。 Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝Ｘ＋Ｙ＋Ｘ・・・・・・（１） （１）式の両辺に（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）を掛けて （Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾２＝（Ｘ＋Ｙ＋Ｘ）＾２・・・・・・（２） （２）式の右辺を展開、整理して （Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾２ ＝（Ｘ＋Ｚ）＾２＋（Ｙ＋Ｚ）＾２＋２ＸＹ－Ｚ＾２・・・・(3) (3)式は（２）式と同値で恒等式です。 (3)式において、２ＸＹ＝Ｚ＾２の関係を満たす自然数Ｘ，Ｙ，Ｚの組を選ぶとき、全てのピタゴラス数を網羅します。 この(3)式の両辺に（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾（Ｎ－２）を掛けると次の式ができます。 （Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾Ｎ ＝（Ｘ＋Ｚ）＾２＊（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾（Ｎ－２） ＋（Ｙ＋Ｚ）＾２＊（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾（Ｎ－２） ＋（２ＸＹ－Ｚ＾２）＊（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾（Ｎ－２）・・・・(4) (4)式も明らかに恒等式です。 この(4)式を、題意の解の有無が判定しやすいように整理します。 （Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾Ｎ ＝（Ｘ＋Ｚ）＾Ｎ＊｛（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）／（Ｘ＋Ｚ）｝＾（Ｎ－２） ＋（Ｙ＋Ｚ）＾Ｎ＊｛（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）／（Ｙ＋Ｚ）｝＾（Ｎ－２） ＋（２ＸＹ－Ｚ＾２）＊（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＾（Ｎ－２）・・・・(５) （５）式も恒等式です。 （５）式は Ｎ＝１のときは（１）式になり Ｎ＝２のときは（3）式になり （3）式は前述のとおり ２ＸＹ＝Ｚ＾２の関係を満たす自然数Ｘ，Ｙ，Ｚの組で、全てのピタゴラス数を網羅します。 さて、（５）式において、Ｎ＞２の場合、これは以下の条件のときにピタゴラス数の形に書けると考えられます。 ｛（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）／（Ｘ＋Ｚ）＝１｝∩｛（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）／（Ｙ＋Ｚ）＝１｝∩（２ＸＹ＝Ｚ＾２）・・・・・・・（6） しかし、２ＸＹ－Ｚ＾２はともかく （Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）／（Ｘ＋Ｚ）＝１ と （Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）／（Ｙ＋Ｚ）＝１ はありえないので Ｎ＞２の場合は（５）式はピタゴラス数の形には書けない。 すなわち、Ｎ＞２の場合はフェルマーの問題に解はない。 要約すれば以上なのですが、この証明を得るために、サンゴ礁数列という層状の数列を考えついてから約２０年かけて、途中でインターネットで皆様に色々教えていただきながらここまできました。 自分ではこれで完了したと考えているのですが、私は数学の全くの素人でほんとうのところは分からないとも考えられます。 そこで、専門家の方のご意見をうかがいたいと、質問いたしました。 よろしくお願いいたします。 フェルマーさんはこのように自然数3個で等式の両辺を表現することを発見していたと思うのですが、どうでしょう？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フェルマーのやらなかったこと
おなじみのフェルマの定理： n を正の整数とすれば、 2<n のとき x^n + y^n ＝ z^n をみたす整数の組（x,y,z）は存在しない。 ですけども、 ここで、n を整数全体にに拡張して、 n=1 のときは、いくらでも整数解があります。 n=0 のときは、無意味です。（整数解は無い） n=-1 のときは、たとえば、（x,y,z）=（4,4,2）はひとつの解ですよね。 さて、n=-2,-3,-4,-5,・・・ などのときを調査するのは、数学的に意味のある営みでしょうか？ 忌憚なきご意見・見通しをお願いいたします。 必要ならば、高額のため、「ガウス整数」なども俎上にあげていただくことも期待しています「。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フェルマーの大定理 n=3の場合の証明
フェルマーの大定理・n = 3の場合の証明について質問です。 オイラーはx^3 + y^3 = z^3をx = a + b、y = a - bとおき、整理することによって、 z^3 = 2a(a^2 + 3b^2) と変形し、n = 3の場合のフェルマーの大定理を証明しました。 そこで、質問です。 【2a】と【a^2 + 3b^2】が、互いに素な場合は無限降下法をつかって証明できるようですが、 【2a】と【a^2 + 3b^2】が、互いに素ではなく、1以外の公約数を持つ場合、どのようにして証明すればよいのでしょうか？ 皆様のご教授をお待ちしております。
- 締切済み
- 数学・算数
- フェルマーの最終定理に関連して
変な質問で申し訳ないのですが、n が 3 以上の整数の時 x^n + y^n = z^n を満たす有理数の組 (x,y,z)、もしく実数の組 (x,y,z)は存在するのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 至上最難問の数学がとけた
ゴールドバッハの予想が解けました。確かにゴールドバッハの予想は成り立ちます。証明できました。 これを発表するにはどうしたらいいですか？ いま僕小学校4年何ですけど、フィールズ賞もらえますか？ また新しい定理も発見しました。これを「unko_deruyoの定理」としたいのですが、認められますか？ この定理を使えば一瞬で、nを3以上の自然数としたときに x^n+y^n=z^nを満たす、xyzの整数は存在しないことが証明できます。 詳しく教えて
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フェルマーの最終定理に欠陥を発見しました!!
こんにちは。 フェルマーの最終定理についてですが、本当に、ないかプログラムを組んで確かめていました（恐ろしく長いので、ここには書ききれません）。 すると、なんということか、題意を満たす物が存在していたのです!!それは、とてもおおきなすうじです。しかし、びっくりしたことに、とても美しい数字であるのです。 n=2^3^4^5^6^7^8^9^10^11^12^13^14^15^16^・・・^2005（^は累乗） のときで、 x=3^4^5^6^7^8^9^10^11^12^13^14^15^16^・・・^2004 y=5^6^7^8^9^10^11^12^13^14^15^16^・・・^2006 z=4^5^6^7^8^9^10^11^12^13^14^15^16^・・・^2007 の場合に成立する という非常に華麗な結果であることもわかりました。 皆にもはなしたのですが、まるで相手にしてくれませんでした。たしかに、人間にはとても出来ない計算ですが。 確かに正しいはずです。私のプログラムは絶対に間違っていません。これは５回も確認したので、自信を持っていえます。どうすれば、これが正しいと認められるでしょうか??
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
本当にありがとうございました(*- -)(*_ _)ペコリ 良くわかりました。 低レベルな質問で申し訳ないのですが、 「素であるような数でなければ」というのはどういう意味ですか？ 「素」について調べてみたのですが「数学で、二つの数・式の一方がそれぞれ他で整除できない関係にあること。」とありましたが、よくわかりませんでした。