- ベストアンサー
パラメータ消去について
tがすべての実数値をとって変化するとき、Ｐ(2t-1,(4^2)-1)の軌跡を求めよ というものについて、Ｐの座標を(X,Y)とおくと X=2t-1 Y=(4^2)-1 と置けますよね、 そこでＸを式変形してt=に直し、Ｙの式に代入しパラメータ消去する というのはよくやることで、何も考えずにやっていましたが。パラメータtが消去されちゃうってことはどういうことなんでしょうか・・・？ tによってx,yが定まるのにｔを消しちゃっていいのか？ tがなくなったということはtによらない関数だということか？ けどパラメータというのは、tの値によって、x,yが変動するものだから、tは必要だ。あくまでもその軌跡がもとめられただけだ・・・ などと考えてましたが・・・。 ☆つまり何がいいたいかというと、X= ～t ,Y= ～t とパラメータ表示されているものの軌跡の取りかたは、本質的な意味では、t=1,2,3・・・ などと点を細かくとっていき、それでできる方程式が軌跡である。ということだと思うのですが、t=～Xの式に直し、パラメータを消去しちゃったら、tにすべての値を代入した時のグラフ（軌跡）がいっきに求まってしまうとは・・・ なぜなんだろう・・・？と疑問に思いました。 ☆あと別の問題ですが、軌跡を求める問題で、軌跡の方程式が、(X^2)+(Y^2)+4X=0とまで変形できたときに円だ、とピンとくるべきですよね。x^2 y^2 が含まれていたら円だ！と思っていいでしょうか？ 楕円とか、双曲線ってのも問題によってはあるんでしょうか・・・？ ちなみに高３です・・・ よろしくお願いします
- Plz_teach_me
- お礼率82% (310/374)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数2
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
tを消去したから、ｘ、ｙがｔと無関係になったというわけではありません。ｔを消去した結果得られた式は、ｔを－∞から∞に変化させたとき、点Ｐが通ったあと、すなわち軌跡を現しているにすぎません。
その他の回答 (3)
- connykelly
- ベストアンサー率53% (102/190)
パラメータは別名媒介変数と呼ばれていますね。つまり変数ｔは変数XとYを結びつける媒介者（？）ということで、媒介者が消えればXとYと直接結びつくことになります。参考URLも見てください。
- whitedingo
- ベストアンサー率15% (11/70)
重要なのはＰの軌跡を求めようとしていることです。ｔに関するグラフを考えろということではありません。あくまでも、Ｐが（２ｔ－１、４＾２－１） であらわされているだけです。ｔがどのように動こうとも、関係ないですよね。関係あるものはその結果の２ｔ－１です。 などと考えてみたらどうでしょうか。 あと、ＮＯ１さんの言うとおり ＞今の表記だとＰのｙ座標は単なる定数１５ですけれど、いいんですか？ に同感です。
- suzukikun
- ベストアンサー率28% (372/1325)
今の表記だとＰのｙ座標は単なる定数１５ですけれど、いいんですか？ 元々無いのだから消えると言うことではなく、そういう問題なのかと思いますが。
お礼
ごめんなさい！ (4t^2)-1 でした・・・。
関連するQ&A
- 双曲線と軌跡
２ｘ＾２－ｙ＾２＝１と直線ｘ－２ｙ＋ｔ＝０との共有点をＰ．Ｑとする時、線分ＰＱの中点の軌跡を求めよ この問題解けません誰か教えてください。 まずわたしは、双曲線２ｘ＾２－ｙ＾２＝１を変形して ｘ＾２/ (1/2) ーｙ＾２/１ ＝１ としました。 この問題に関係あるかわからないですけど＞＿＜ そしたら焦点が求まるので、 Ｃ＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２ より Ｃ＝±√５/２ となりました。 あと、漸近線も２ｘ＾２－ｙ＾２＝０として、 ｙ＝±√２ｘが得られました。 これで大体図をノートに書きました。 つぎにｘ－２ｙ＋ｔ＝０との共有点を求めないと駄目なので、双曲線の式に代入しました。 そしたら、 ７ｙ＾２－８ｙｔ＋２ｔ＾２－１＝０ という、ちょっと複雑に文字が入った式が得られました。 このあと、どうしたらよいのかわかりません。 線分ＰＱの軌跡はどうやったら求まるのでしょうか？？ 宜しくお願いします。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中２一次関数3問
中２の一次関数の問題です。 解法手順と解答をお願い致します。 (1) 6x + 3y + k = 0 について、 -3≦x≦5 のとき、-9≦y≦t である。 k と t の値を求めよ。 (2) y = ax + 6 について、2≦x≦10 のとき、 p≦y≦5 である。 a と p の値を求めよ。 (3) (6, t+6) (1, 2t-2) (-2, 6t) が一直線上にある。 t の値を求めよ。 (1)は y= -2x + k/3 に変形し、変域の数値を代入して計算しましたが、正答になりません。 (2)のように、aの正負がわからないとき、式に代入する変域の数値の組み合わせ方はどのように判断するのかわかりません。 (3) も連立方程式にしてみたり、変化の割合から求めようとしたりしてみましたが、うまくいきません。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 軌跡の問題で
「tが全ての実数値をとる x=1/(t^2＋1)・・・(1)、y=t/(t^2＋1)・・・(2)で定まるP(x,y)の描く軌跡を求めよ。」 という問題で、 適当はtを用いて(1)と(2)と表せるということは、tについての２つの方程式(1)(2)が共通解をもつということである。 (2)の両辺を(1)で割ってy/x=t・・・(3) (1)と(3)をtの方程式とみなすと、共通の実数解があるのは(3)のただ１つの解を(1)に代入した式x=1/｛(y/x)^2＋1｝が成立するときである。 これを整理すると、x=x/(x^2＋y^2)かつx≠0 すなわちx^2＋y^2=xかつx≠0である。 という解答になるらしいのですが、x≠0というのはどこからどう求めるのでしょうか。教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学、軌跡
（問題） ｔは０≦ｔ≦１を満たす実数である。 ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔ(2)を満たす点P（ｘ、ｙ）の軌跡を求めよ。 （問題集の解説） Pの軌跡をFとする。 Fを表す方程式を求めるとは次の（１）（２）を満たすｘ、ｙの式ｆ（ｘ、ｙ）＝０を求めることである。 （１）ｔが０≦ｔ≦１を満たすどのような値であっても(1)、(2)によって定まるｘ、ｙはｆ（ｘ、ｙ）＝０を満たす。 （２）逆にｆ（ｘ、ｙ）＝０を満たすｘ、ｙはすべて通過する点になりうる。 まず、（１）についてであるが、「どのようなｔであっても成り立つようなｘ、ｙの関係式」にはｔが入っていてはならない。（これはわかります） 例えば、(1)＋(2)によってｙ＝ｘ＋ｔ－１が得られるがこれは ｔ＝０．ｔ＝１とｘ、ｙの関係式は変化する。 したがって、ｔの入っていないｘ、ｙの関係式でなければならないので、(1)(2)からｔを消去すると、ｙ＝２（ｘ－１）＝２ｘ－２ 今度はｙ＝２ｘ－２を満たせば、そのような（ｘ、ｙ）は全てF上の点であるといえるのかというと、ｔは０≦ｔ≦１しか動かないので、ｘ＝ｔ＋１は１≦x≦２を動くから、ｙ＝２ｘ－２の１≦x≦２の部分。 （疑問） ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔ(2)をｔはともに満たすから、ｔ＝ｘ－１(1)‘を(2)に代入出来るのはわかるのですが、これがどんなｔに対しても成り立つｘｙの関係というのがよくわかりません。 これに対し、 (1)×２（(1)‘‘）‐(2)で ２ｘ＝２ｔ＋２(1)‘‘であり、各辺引くと、 ２ｘ－ｙ＝２＋０×ｔとなり、これが０≦ｔ≦１の任意のｔについて成り立つｘｙの関係というのはわかるのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の質問
点A(6,-4)に対して、点Pが円 x^2+y^2=2の周上を動くとき、次の点の軌跡を求めよ。 (1) 線分APの中点M 回答で、点Pの座標を(s,t)、 点Mの座標を（x,y)とおいて、なんか計算して s=2x-6,t=2y+4 が出て、これらを x^2+y^2=2 に代入すると 点（3,-2)を中心とする半径(√2)/2 の円をあらわす方程式が出て、それが点Mの軌跡らしいんですけど、なぜこの方程式が点Mの軌跡なんですか？なぜs=2x-6,t=2y+4を代入したんですか？ 式や数値がなくてもかまわないので、できるだけわかりやすく教えてください お願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この方程式の解法を教えてください
この方程式の解法を教えてください 「aは実数の定数とし， x＾4-ax＾3+(a+7)x＾2-ax+1=0・・・・(1) t=x+1/x・・・・(2)とする 方程式(1)が２重解を持つとき，aの値を全て求めなさい．」 という問題がわかりません． x≠0であることに注意して，(1)の式を変形して(2)を代入すると t＾2-at+a+5=0・・・・(3) また(2)の式を変形させるとx＾2-tx+1=0・・・・(4) 僕は(1)の式が２重解をもつのは(4)の判別式が0になるときなので t=±2を(3)に代入してa=9,-3だと思いました． しかし，答えにはさらに2±2√6（(3)が重解を持つとき）とありました． (1)が重解を持つときなぜ(3)も重解を持つのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ２直線の交点の軌跡
２直線の交点の軌跡 ｍが実数全体を動くとき、次の２直線の交点Ｐはどんな図形を描くか。 mx-y=0・・・(1)、x+my-m-2=0・・・(2) 指針、(1)、(2)を連立して解くと x=m+2/m^2+1,y=m(m+2)/m^2+1 この２式からｍを消去してｘ、ｙの関係式を求めようとするのは計算が大変。 そこで、交点Ｐの座標を(x,y)とすると(x,y)は(1)、(2)を同時に満たすから、(1)、(2)はｍをつなぎ文字とみた軌跡の条件式である よって、(1)、(2)から直接ｍを消去する。なお、(1)、(2)が表さない、直線があるから、求めた図形から、除外する点がでてくることに 注意する。 教えてほしいところ 解答では、(1)の式を変形して(2)に代入していたんですが、(1)を満たすような(x,y)と(2)を満たすような(x,y)は異なりますよね（必要十分でない）？？ ですから、代入して(1)のx,yと(2)のx,yをごちゃごちゃにするのは駄目なのでは？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二次曲線の問題です！ 明けましておめでとうございます！！！
Ｐを通って双曲線Ｃ：ｙ＾２－ｘ＾２＝１に接する直線が２本あり、これらの直線の傾きの積が一定値Ｋ（０＜｜Ｋ｜＜１）であるとする。このような点Ｐの軌跡を求めよ。 この問題の最後のほうが良くわかりません！ まず動点をＰ（Ｘ，Ｙ）と大文字にして 次は、この点Ｐを通過する直線を表すので ｙ＝ｍ（ｘ－ｘ１）＋ｙ１を利用して ｙ＝ｍ（ｘ－Ｘ）＋Ｙとしました。 そしてこの直線が接する時は、これを題意のｙ＾２－ｘ＾２＝１に代入しました。 そしたら長い式が得られ（ｍ＾２－１）ｘ＾２－２ｍ（ｍＸ－Ｙ）ｘ＋（ｍＸ－Ｙ）＾２－１＝０ この式に対して、今度は”接する”というのを示すので、この式が重解を持てばよいので、判別式b＾２－ac=0を利用したら、 （Ｘ＾２＋１）ｍ＾２－２ＸＹｍ＋Ｙ＾２－１＝０ （１）となりました この方程式の解が接線の傾きなので、（ｍの二次方程式なので）接線が”二本ある条件”は 再度判別式に掛けて、Ｙ＾２－Ｘ＾２＜１ （２）が得られました。 （１）の式を解と係数の関係を使って、m1m2=(Ｙ＾２－１)/(Ｘ＾２＋１) ＝ Ｋ （３） となりました。 続いて、（３）を展開すると、 Ｙ＾２－ｋＸ＾２＝ｋ＋１(0<|k|<1)となりました。 このあとが良くわかりません！＞＿＜！！ 点Ｐの軌跡は、ここからどうしたらよいですか？？ 答えを見たら （ア）0<k<1の時、Ｐは双曲線 x＾２/（√(k+1)/(√k))＾２ ーｙ＾２/(√(k+1))＾２＝－１と成ってるのですけど、どうやって、こんな複雑な式になったのですか？あとなぜ双曲線ってわかったのですか？ （イ）-1<k<0のときＰは楕円 これはどうして-1<k<0なんですか？絶対値のカッコって ｜ｋ｜の意味するのはｋとーｋじゃないのですか？ そしたら、0<|k|<1 は -k<0<1じゃないのですか？ あとどうして（イ）は楕円とわかるのですか？ 誰か教えてください！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学、軌跡
（問題） ｔは０≦ｔ≦１を満たす実数である。 ｘ＝ｔ＋１(1)、ｙ＝２ｔ(2)を満たす点P（ｘ、ｙ）の軌跡を求めよ。 （問題集の解答） Pの軌跡をWとする。 （ｘ、ｙ）がWに属することの定義は （ｘ、ｙ）⊂W⇔(1)(2)および０≦t≦１をみたすｔが存在する したがって、（ｘ、ｙ）⊂Wであるようなｘ、ｙの条件を求めるには ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙ、０≦t≦１を同時にみたすようなｔが存在するようなｘ、ｙの条件言い換えると、2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つような条件を求めることが必要かつ十分。 ｔ＝ｘ－１、ｔ＝ｙ／２であるから、このｔが等しく、しかもｔが０≦ｔ≦１にあればよいから、ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１すなわち ｙ＝２ｘ－２かつ１≦x≦２が求める軌跡である。 （疑問） (1)2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つ⇒ｔが等しいからｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１ (2)ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１⇒2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つ (1)は言えると思うのですが、ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１から2つの方程式ｔ＋１＝ｘ、２ｔ＝ｙが０≦t≦１の範囲に共通解を持つといえるのかどうかがわかりません。 ｘ－１＝ｙ／２かつ０≦ｘ－１≦１にはｔが入っていないのでここから２つの方程式が復元できるとは思えないのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ごめんなさい！ (4t^2)-1 でした・・・。 tのグラフを考えろってことではないですよね。 けど、軌跡のグラフをかくのは、普通、t=1,2,3,4・・・と代入していって、点をとっていって、その点の集合が軌跡なわけですよね。 けど、パラメータ消去すると、一気にすべての実数tを代入したときの軌跡がもとまるのはすごいなぁ・・・ と思ったのですが。