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ZnがZのイデアルである事を示したいのです。
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ZnではなくてnZではないでしょうか。 ZのイデアルはZの部分集合に対し(i),(ii)をみたすものをいうのでは？ZnはZの部分集合ではありません。 Zは単項イデアル整域なので任意のZのイデアルは(n)=nZの形にかけます。
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Znではなく、nZでした。 どうもお騒がせ致しました。