• 締切済み

Zn=Z/nZのすべてのイデアルについて

整数環Zに対して,Zn=Z/nZ(nは2以上の自然数)とするとき, Znのすべてのイデアルはどうなりますか? 証明もつけていただけると助かります. よろしくお願いします.

みんなの回答

回答No.4

まず、Znは単項イデアル環です。(証明はZが単項イデアル環であることの証明とほぼおなじ) したがって、ZnのイデアルはあるZnの元aが生成することになりますが、(aが0でないとすると)これはaとnの最大公約数をdとするとdの生成するイデアルと等しくなります。(ax+by=dとなるような整数x,yが存在することから) したがってnの約数が生成する単項イデアル((n)=(0)も含む)がすべてのイデアルとなります。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.3

n の約数(が生成する単項イデアル)になる。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.2

> 「どう書けますか」という意味です. 色々な方法で書ける。試しにあなたの思い付いた書き方を補足にどうぞ。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.1

>Znのすべてのイデアルはどうなりますか? 別にどうにもならん。

xNERORENx
質問者

補足

> koko_u_u 様 書き方が悪かったですね. 「どう書けますか」という意味です.

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • ZnがZのイデアルである事を示したいのです。

    ZnがZのイデアルである事を示したいのです。 イデアルの定義は (i)x,y∈Znが和に関して閉じている (ii) r∈Zの時、rx∈Zn、xr∈Zn だと思います。 (i)を示す ∀(a)mod(n),(b)mod(n)∈Zn (a)mod(n)+(b)mod(n)=(a+b)mod(n)∈Zn (∵Znは群なので) (ii)を示す 次にZはZ1の事なので ∀(z)mod(1)∈Zをとると (a)mod(n)・(z)mod(1)=????? とここから先に進めません。 積はどう書けるのでしょうか?

  • 環・イデアル

    「整数環Zをイデアル(n)=nZで割って得られる商環Z/(n)が整域である(即ち0因子をもたない)ための十分条件はnが素数であることである」を示してほしいのです。難しすぎてわかりません。よろしくお願いしますm(__)m

  • 極大素イデアルと極大イデアル

    まず、質問文が長くなったことと、定義などをいろいろ細かく指定したことをお詫びします。 また、極大素イデアルというのは maximal prime ideal を勝手に日本語にしたもので、正しい数学用語かどうかわかりません。 この質問では乗法の単位元1をもつ可換環のみを考え、素イデアルは(1)に等しくないとします。 記号の使い方で、A⊆BはAがBの部分集合、A⊂BはAがBの真部分集合を表すとします。 このとき、素イデアルPに対して、P⊂P’⊂(1)を満たす素イデアルP’が存在しないとき、Pを極大素イデアルと定義します。 ある数学書には、 Rをネター環、PをRの極大イデアル、A≠(1)をRのイデアルとするとき、 P^n ⊆A⊆Pとなる自然数 n が存在する⇔Aは準素イデアルで√A=Pが成り立つ という命題が載っていて、別の数学書には、 Rをネター環、PをRの極大素イデアル、A≠(1)をRのイデアルとするとき、 P^n ⊆Aとなる自然数 n が存在する⇔Aは準素イデアルで√A=Pが成り立つ という命題が載っています。ふたつを見比べると、これらの命題に限れば極大素イデアルと極大イデアルは互換性をもつといえます。 質問したいのは上の命題の証明ではなく、極大素イデアルと極大イデアルは同じものかどうかということです。 極大イデアルが極大素イデアルであることは明らかですが、逆は成り立つでしょうか。 成り立たないとすれば、P⊂B⊂(1)を満たす極大素イデアルPと素イデアルでないイデアルBが存在する例があるはずですが、そういう例が見つかりません。 極大素イデアルが極大イデアルであることを証明しようとも試みましたが、証明できませんでした。 有理整数環Zでは極大素イデアルは必ず極大イデアルになり、k[x, y] の極大素イデアル (x, y) も極大イデアルですが、例を挙げただけでは証明になりませんので。 どうか、アドバイスをよろしくお願いします。

  • イデアルについて

    (1)イデアルのノルムについて 初等整数論講義などの二次体に限った議論をしている本では、イデアルIのノルムN'(I)(あえて'をつけています)とは共役イデアル(Aの元の共役全体の集合)をI'としたときII'=(n)となる有理整数のことだと定義しています(nの存在は証明されている)。 これは一般のデデキント環AにおけるイデアルIのノルムN_A(I):=|A/I|に矛盾するでしょうか? しないとしたら証明をお願いします。 (2)アルティン環のイデアルは有限個ですか? k[x^2, x^3]/(x^4) においてax^2 + bx^3 (a,b は体kの元)で生成されるイデアルたちが無限個ありそうなので、偽と踏んでいますが厳密な証明を与えられる方はいらっしゃいませんか。 (3)Z[x]のイデアル(の形)を全て求めてください。ただし https://math.stackexchange.com/questions/300170/ … にある情報は断りなく使用して良いです。解かれているか否か、情報だけでもいいですし、考察でもいいので是非ご回答ください。

  • イデアルの証明がよくわかりません…(/_;)

    本を読んでいて, 次の命題を証明したいのですが…. Iを有理整数環Zのイデアルとすると,I=Zaとなる整数aが存在する. イデアルの考え方も自信がないので, 分かりやすく証明を書いていただけると嬉しいです(T T) よろしくお願いします!!

  • 単項イデアル整域

    「1.ユークリッド整域  2.整数環Z  3.実数上の一変数多項式環R[X]      以上の3つはすべて単項イデアルであることを示せ。」 なのですが、どれか一つでもかまいませんので教えてください。お願いしますm(__)m

  • PIDでない環のイデアル(素イデアル)の探し方

    PIDでない環のイデアルの探し方についての質問です。 数多くの代数や数論の教科書および参考書に, 以下の例が挙げられています; > 環 Z(√-5) において, > 素イデアルは (3,1+√-5),(3,1-√-5),(1+√-5,1-√-5) の3種類あり, >   (3,1+√-5)×(3,1-√-5) = (3) >   (3,1+√-5)×(1+√-5,1-√-5) = (1+√-5) >   (3,1-√-5)×(1+√-5,1-√-5) = (1-√-5) >   (1+√-5,1-√-5)^2 = (2) > なので,6 = 2×3 = (1+√-5)×(1-√-5) と2通りの素因数分解ができる とりあえず,この例については,正しく理解しているつもりです。 (自分で手を動かして,(3,1+√-5)×(3,1-√-5) = (3) などを確かめています。) 実際に手を動かすと 「なるほど,確かにイデアルになっているなぁ」とはわかるのですが, しかし,この「イデアル」の探し方(見つけ方)がわかりません。 これは明らかなことではなく, 考えていればそのうちわかるようなことでもないと思えるのですが, なにか「探し方のアルゴリズム」のようなものが存在するのでしょうか……。 ちなみに私の理解度について申しますと, 私が思いつく環はすべて整数環 Z と同じ「単項イデアル整域(PID)」ばかりで, そうでない例は,上記の「環 Z(√-5) 」くらいしか知りません。 (手元にあるどの本を見ても上記の例ばかり載っているので……) ということで, (1)単項イデアル整域(PID)でない環(と,その素イデアル)の例 (2)PIDではない環の素イデアルは,どのように探せば(考えれば)よいのか を,教えていただきたいと思います。 参考になる書籍(やWebサイト)を教えて頂くだけでも構いません。 どうぞよろしくお願いします。

  • イデアルに関する質問です。

    次の問題を教えてください。 整数係数の多項式全体がなす可換環Z[x]のイデアルに関する以下の問いに答えよ。 ・単項イデアル(4)は素イデアルと言えるかまた極大イデアルと言えるか理由とともに答えよ。 ・単項イデアル(x+4)は  以下同文

  • 素イデアルの冪と準素イデアル

    R を実数体として、多項式環 R[x, y] のイデアルを考えます。 (x, y)^2 = (x^2, xy, y^2) = (x^2, y) ∩ (x, y^2) 上の関係では、素イデアルの冪が準素イデアルに等しくなっていますが、一般的には同じことがいえるのでしょうか。 有理整数環 Z と、体 k 上の多項式環 k[x], k[x, y] で調べてみたのですが、素イデアルの冪が準素イデアルにならない例を見つけられませんでした。 どうか、アドバイスをよろしくお願いします。

  • この問題解いて下さいm(_ _)m

    3以上の自然数nに対して、 Xn+Yn=Znを 満たすような自然数 X、Y、Zは存在しない、 これを証明せよ!! (天才数学者が、8年かかった問題) よろしくお願いします!