イデアルについて質問です。

質問

（i）　環Zにおいてイデアルの等式（24,　570）＝（a）が成り立つような自然数aを求めよ。

（ii）　環Z[ｘ]においてイデアル（２、ｘ）は単項イデアルでないことを求めよ。

　　　問題の解答よろしくお願いします

回答No.1

ask-it-aurora

(i) 拡張ユークリッド互除法よりgcd(24, 570) = 6 = 24・24 - 570 である:

570 = 23・24 + 18,
24 = 1・18 + 6,
18 = 3・6 + 0;
6 = 24 - 1・18 = 24 - (570 - 23・24) = 24・24 - 570.

したがって (24, 570) = (6) である. なぜなら任意の元 24a + 570b ∈ (24, 570) は
24a + 570b = 6(4a + 95b) ∈ (6).
逆に 6c ∈ (6) は
6c = 24・24c - 570c ∈ (24, 570).

(ii) もし単項イデアルであったら (2, x) = (g) となる生成元 g ∈ Z[x] がある. したがって

2 = ga, x = gb, g = 2u + xv

となるa, b, u, v ∈ Z[x] があるので g = 2u + xv = (ga)u + (gb)v = g(au + bv). 次数を考えれば

0 = deg(2) = deg(ga) = deg(g) + deg(a) ⇒ deg(g) = deg(a) = 0,
1 = deg(x) = deg(gb) = deg(g) + deg(b) = deg(b),
0 = deg(g) = deg(g) + deg(au + bv) ≧ deg(bv) = deg(b) + deg(v) ≧ 1.

これは矛盾. 以上より(2, x) は Z[x] 上の単項イデアルではない.

お礼

ご回答ありがとうございました