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本当に巡回群なの?
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- totoro7683
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ご回答ありがとうございます。質問内容は、 1次元トーラスR/Zの有限部分群Aは巡回群であることを示せ。 に還元されるのではということですね。 私の方でも下記に証明を考えてみました。 Aの位数をmとし、Aの任意の元xを a+Z a∈R と表す。 有限群の初歩より、m(a+Z)=0 i.e ma∈Z となる。 よって、a=n/m n∈Z と書ける。ここに、mとnは互いに素とは限らない。 特に、aが有理数であるから、適当に、代表元をZで調節することにより、0≦n/m<1 と仮定してよい。 よって、Aは、{0, 1/m+Z, 2/m+Z, ・・・ ,(m-1)/m+Z} に含まれることになる。 ところで、{0, 1/m+Z, 2/m+Z, ・・・ ,(m-1)/m+Z}の元の総数はmであるから、結局、A={0, 1/m+Z, 2/m+Z, ・・・ ,(m-1)/m+Z}となり、Aは位数mの巡回群となる。■ しかし、証明はできたけど、本当に「1次元トーラスR/Zの有限部分群Aは巡回群である。」は正しいかな。ブルバキの代数の本とかに、載っているいると安心しますけど。。。