アルキメデスのHat-Box定理の逆は成り立つのでしょうか？

質問

球S={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1}
と
円柱T={(x,y,z)|x^2+y^2=1}
があります。

z軸からの射影ψ：S → T
　ψ((x,y,z)) = (x/r, y/r, z) 但しr=√(x^2+y^2)

を考えます。
球Sの表面積は、4πですが、像である円柱の側面ψ(S)の面積も、直径*π*高さ=4πとなり同じになります。

そしてこれはSの部分集合とその像に関しても、面積は同じになっていたと思います。
つまり、等積変形です。

ではその逆はどうなのでしょうか？
つまり、球とは限らない一般の曲面Sと円柱T={(x,y,z)|x^2+y^2=1}
があったとき、

z軸からの射影ψ：S → T
　ψ((x,y,z)) = (x/r, y/r, z) 但しr=√(x^2+y^2)

が等積変形であれば、Sは球、もしくは円柱に限られるのでしょうか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

円筒座標(r,θ,z) (r≧0, 2π＞θ≧0)で表された滑らかな曲面を考え、rをθとzの関数r(θ,z)だと思うことにしましょう。Sが単位球面の場合なら、 r(θ,z)=√(1-z^2) です。すると半径1の円筒面（単位円筒面と呼びましょう）は
r(θ,z) = 1
だから、写像ψは
ψ(r,θ,z)=(1,θ,z)
と書けます。
　単位円筒面上の微小面積を
dT = dθdz
として、曲面S上の、これに対応する微小面積を考えます。点(r,θ,z)における微小面積をdSとすると、
dS = dθdz√((r^2+(∂r/∂θ)^2)(1+(∂r/∂z)^2))
だから、至る所で
dS=dT
となる曲面Sは、
(r^2+(∂r/∂θ)^2)(1+(∂r/∂z)^2)=1
という微分方程式を満たすr(θ,z)で与えられることになります。

　まず、∂r/∂θ=0の場合について考えますと、
(r^2)(1+(∂r/∂z)^2)=1
です。r≠0と決まり、
∂r/∂z=±√(1-r^2)/r
より、
r = 1
または
z = ±∫ r/√(1-r^2) dr
つまり
r = √(1-(z-C)^2)
と決まります。単位円筒面、単位球面をz軸に沿って平行移動したもの、あるいはこれらのつぎはぎ、ということです。

　じゃ、∂r/∂θ≠0、∂r/∂θ=0の場合はどうか。
r^2+(∂r/∂θ)^2=1
であるから、
r = |sin(θ+α)|
という解が出ます。これは半径1/2の円筒面をふたつ並べたもの（接線がz軸）です。θ=0, πのところで微分が存在しなくなりますから、滑らかというにはちょっと怪しいですが。

　では∂r/∂θ≠0、∂r/∂θ≠0の場合にどうなるか。rはθに関して周期2πを持っていなくちゃいけないから、
r(θ,z)=A[0](z) + Σ(A[n](z) cos(nθ) + B[n](z) sin(nθ))　（Σはn=1,2,…）
と展開するのがいいだろうな、というところまではいいんですが、えと、その先は難しそうだな。

回答No.1

eatern27

カプセル(?)みたいに、円柱の上下を２つの半球で挟んだ閉曲面の場合にも、Ψは等積変形じゃないですかね？