円に内接する3角形の性質について

質問

円に内接する3角形をランダムに一つ選び、その辺をa,b,cとすると、
a:b+cの値の平均値は何になるのでしょうか？

ご回答いただければ幸いです。
宜しくお願いいたします。

回答No.11

siegmund

siegmund です．

> X:Yの平均が、(X/Y)とすると求まるが(Y/X)とすると求まらないという
> ところがどうも十分に飲み込めません。

簡単な例を見てみましょう．

X,Y とも値1,2を取ることができ，その確率は五分五分とします．
平均値を《　》で表すことにして，当然《x》=《Y》=1.5 ですから
《X》/《Y》= 1 ですね．

ところで，(X,Y)の値の組は (1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2) を
等確率(すなわち確率 1/4)でとります．
したがって，
《X/Y》= (1/4) {(1/1) + (1/2) + (2/1) + (2/2)} = 9/8
で，《X》/《Y》とは少しちがいますね．
ただし，X と Y とは全く等価値ですから，《Y/X》も当然《X/Y》と同じ値です．

さて，もう一つ Z を仲間に入れましょう．
X,Y とも値1,2を取ることができ，その確率は五分五分とします．
Z も値1,2を取ることができ，その確率は五分五分とします．
そうすると，(X,Y,Z) の組は
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2), (2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)
の８通りです．
《X/Y》と同様に計算して
《(X+Y)/Z》= 9/4
《Z/(X+Y)》= 17/32
ですから(計算大丈夫かな？)，この２つの平均値は逆数関係にはないことがわかります．
このあたりの事情を tgb さんが No.7 で書かれているわけです．

では，もとの問題の三角形の辺の比で
《CA/(AB+BC)》と《(BC+CA)/AB》が違うのは上の例でいいとして，
なぜ前者は有限値(0.5618)に収まり，後者は発散してしまったのか？
そこが私が No.10 で書いたところです．
分母がゼロに近いと危ないのは言うまでもありませんが，
CA/(AB+BC) が危ないのは２辺が同時にゼロに近いときであるのに対し，
(BC+CA)/AB では１辺だけゼロで既にもう危ないですね．
もちろん，２辺同時にゼロに近い確率は，１辺だけゼロに近い確率よりはるかに小さい．
そこが効いて，有限値と発散とに分かれてしまったのです．

本当のことを言えば，上のような直感的議論からだけでは，
両方とも発散するとか，
両方とも収束して《CA/(AB+BC)》＜《(BC+CA)/AB》，
という可能性も否定はできません．
そこまで調べるにはきちんと平均値を積分で評価するより仕方がないかと思います．
0.5618 というような値はともかくとして，
少し慣れていると有限値に収束するか発散するかは割合すぐわかります．

補足

ご丁寧な解説、大変分かりやすく感謝しております。

「a/(b+c) の平均は求まるが、 (b+c)/a の平均は求まらない。」
これは事実として有り得るというところは
お陰様で受け止めることができました。

では、結局 a:(b+c) の平均は、 a/(b+c) の平均が 0.5618 なので、
0.5618:1 としてよいのでしょうか。
これだけだと、(b+c)/a の平均が求まらないという事実を
無視しているようで不安です。

また、a:(b+c) の値を考えた時、a/(b+c) が∞に近づく場合が危険
であるだけでなく、0に近づくことも同様に危険ではないでしょうか。
0になれば結局a:(b+c)は求まりませんよね。
そうなると、a/(b+c) も (b+c)/a も aが0になる場合と、b,c共に0になる場合とで
a:(b+c)の値が決まらなくなるという点で同程度に「直感的に危険」である気がします。
危険の定義を私が勝手に変えているような気もしますが...。