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円に内接する3角形の性質について
tgbの回答
- tgb
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大変曖昧な説明ですが、分母に特異な状況というのは分母が０になると比としての値が定義できないと言うことの他に、０に近いとき分数の値がいくらでも大きくなると言うことで、このため通常なら積分する範囲を絞っていくとその計算結果も０に近づく（それによって全体として一定の値に近づいて行く）のですが、この場合はそれが成り立たなくなって確定した値が求まらなくなると言うことを言っています。従って積分できないと言う場合、３角形にならないような場合が問題と言うよりはｓの値がどうなるかが問題となります。実際、ａ＋ｂ＋ｃやｂ＋ｃ－ａの計算では３角形にならない場合を含めて計算しています。これはｓの値がきちんと一定の範囲に収まっているので３角形にならない場合を含んでいても積分としては計算できてしまって、後で３角形にならないような場合も含めて計算してしまっているが影響はないだろうと別の観点から判断を下しているわけです。そう言うことで、３角形にならない場合を除外すれば比の平均と平均の比が一致すると言うことは言えません。 前回に平均の比と比の平均について言及し、ｂ＋ｃ－ａについては一致すると述べたので一般的にはこの二つの量は一致するのではと言う誤解を与えてしまったようですが、簡単な例で計算してみれば分かるように、ａ＋３ｂやａ－２ｂ＋３ｃのように元のａ、ｂ、ｃに対して線形な結合なら一致しますが一般には一致しません。（これは積分できるかどうかとは別の問題になります。）
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補足
なるほど、 たとえ三角形にならない場合を除いても、 a/(b+c)の値が∞に限りなく近づくケースが有る以上、 a:(b+c)の平均が定まらなくなる可能性があるわけですね。 また、和や差の平均を求めるための積分は、 先に各項の平均を求めた後に、和や差を計算してもよいわけですね。 とすると、和や差の平均を求めるだけであれば、naoppeさんの方法で 一辺の平均を先に求めると簡単そうですね。 ありがとうございました。