円に内接する3角形の性質について

質問

円に内接する3角形をランダムに一つ選び、その辺をa,b,cとすると、
a:b+cの値の平均値は何になるのでしょうか？

ご回答いただければ幸いです。
宜しくお願いいたします。

回答No.5

tgb

平均値の求め方の呼び名と言うことですが、これまで名前を意識したことはありません。何か決まった命名があるかも知れませんが、私は残念ですが知りません。ただ、考え方はごく当たり前のもので、例えば円錐の平均的な高さを求めたいときに、円錐の体積Ｖ＝Ｓ・ｈ／３を底面積Ｓで割ってｈ／３とするのと同じようなものです。この場合、分母が２次元でＳ＝∫∫ dpdq（底面の円の領域の面積）となり、分子はＶ＝∫∫ｓ dpdqでｓは円錐の底辺における１点での高さになり、この積分は円錐の体積に他ならないわけです。今回の質問の場合では３角形の３つの頂点の角度（位置）の変化に対してある平均量を求めると言うことなので計算は３次元になります。また、積分領域は３つの角度に対して特に制約（円錐の底面の場合で言えばp^2+q^2≦r^2のような）がないので変化の範囲内での全体の領域である立方体になります。
　ある量Ｙの平均を求めるのに何（Ｘ）を変化させたときの平均なのか、そのＸについては均等に全て変化させたことになるかと言うのは重要です。Ｘについては今回の質問の場合、（直観的な説明になりますが）円周上の３点を全く均等に０から２πの範囲で変化させることができるので妥当な平均の求め方と判断できるわけです。ちなみに円錐の場合は底面の円の領域内を全く均等に動いたときの高さの変化に対する平均で、やはり円の中と言う制約を満たす限り変化の均等性が認められるわけです。そう言う意味で、３角形がいろいろ変わるというのを円周上の点の位置が変わると言うことに対応すると言う点に着目するのは問題を解ける方向に持っていくための重要なポイントになっていると思います。（勿論他の方法も無いとは言いませんが）

　円に内接する３角形の３辺に対する平均的な関係と言うことですが、３辺についてそれぞれの平均は積分の式の形からも推測できるように皆等しく一定の値になります。従って３辺に対して「平均の比（平均してからの比）」で言えばａ：ｂ＋ｃは明らかに１：２になります（ａ：ｂ：ｃ＝１：１：１）が、「比の平均（比を求めてからの平均）」では分母に特異な状況があるため求まらないと言うことになります。また、ａ＋ｂ＋ｃやｂ＋ｃ－ａについては和・差の平均と平均の和・差は一致し、後者（ｂ＋ｃ－ａ）についての値はＡＮｏ．＃３の計算が正しければ４Ｒ／π（ａ、ｂ、ｃ各々の値でもある）ということになります。

補足

大変ご丁寧な回答、有難うございます。
お陰様で、私自身、数学が少しずつ面白くなってきた気がします。

比の平均は、分母に特異な状況があるとのことですが、
これは、3角形の頂点のうち2点もしくは3点が同一の点に
なる場合だと思われますが、これは3角形ではないとして除外すると、ひょっとして、比の平均と、平均の比は一致して、2:1となるのでしょうか。