自然数Nをいくつかの自然数に分割してから積をとるときの最大値

質問

与えられた自然数Nに対して、Nをいくつかの自然数に分割してから積をとる。
このとき、その積が最大となるのはどのように分割したときでしょうか？

たとえば、

５＝３＋２
と分解したとき、積の最大値は６

６＝３＋３
と分解したとき、積の最大値は９

７＝３＋４＝３＋２＋２
と分解したとき、積の最大値は１２

１０＝３＋３＋４＝３＋３＋２＋２
と分解したとき、積の最大値は３６

このように分割の個数はいくつでもいいです。

できるだけ、３ずつに分割したほうがよさそうなことが予想できると思います。

この辺の証明や、また、条件を適度に変えたときの話題について、アイデアがありましたら、教えていただけないでしょうか？

たとえば、和と積を交換したら、どのような結果が予想されるでしょうか？

回答No.6

stomachman

項の個数nを定数（ただしn≧2)に固定すると、丁度 質問q=2347447 と同じ問題になります。jlglgさんはq=2347447に回答なさってるうちにいわゆる「インスパイヤされた」ってやつですね。

　「N≧2のとき、項の数nをfloor((N+1)/3)にして、全ての項をm = floor(N/n)かm+1にする」というのがこのご質問の答です。これはN≧3の場合なら、「全ての項を3にするが、4も高々１個ある」というのと同じことになります。
　証明は、Quattro99さんのNo.2のアプローチが単純明快だと思います。（つまり項の個数を定数に固定した場合とはかなり違う性格の問題になってる、ということですね。）

　さて、条件を適度に変えたとき、というお話ですが、和と積を交換したらどうなるか、というのは、積を一定に保って和を極大あるいは極小にしろということでしょうか。こりゃ素因数分解にほかならず、これまた性格ががらりと変わるでしょう。ただ、極大にしろの場合、1をいっぱいかけ算するのを禁止しないとな。

お礼

6名の方の回答に感謝いたします。感想を書きます。

まず、素数の理論ではしばしば２が異質なように、今回も２は異質な気がします。
あと、
２＋２＝２＊２＝２＾２
というような不思議な関係もあるし。

Quattro99さんなどが書かれた証明の方針は分かりました。でも、次のような方針はどうでしょう。N=16で説明します。（mayan99さんと方針は同じ）

実際にN=16を分割して、成分の積を大きくしていく操作を考える。
16のままよりも、16=2+14に分割したほうがよい。
その中の14をさらに分解して、16=2+2+10にしたほうがいい。
その中の10をさらに分解して、16=2+2+2+8にしたほうがいい。
同様に、16=2+2+2+2+2+2+2+2にしたほうがいい。
その中の2+2+2を3+3に変えて、16=3+3+2+2+2+2+2にしたほうがいい。
同様に、16=3+3+3+3+2+2にしたほうがいい。
それ以上にいい分解はない。
もちろん、この説明には不備がありますが、「場合分けは不要」「自然数の素因数分解のように、実際の分割の方法を示している」というメリットがあると思います。

さて、条件を適度に変えたとき、和と積を交換して考えたとします。24で考えたとき、
24=2*12=3*8=4*6=2*2*2*3=2*3*4
となるが、成分の和が最小となるのは？

これは積の分解を細かくするにつれ、和が小さくなっていき、一番細かい分割のとき、つまり素因数分解のときが和が最小になりそうです。

もどって、条件を適度に変えたとき、正の実数を有限個の正の実数の和に分割したとき、積が最大になるのは？
字数制限があるので、結果だけを言うと、各成分をe（自然対数の底）にしたほうがよさそうです。
自然数の場合は３、実数の場合はe(=2.71…)、この辺関連性ありそうです。