１×2×３×・・・・ｎ＝？

質問

タイトルの通りです。ｎを使った式で表せますか？
（ふと思っただけなので、気軽にお願いします。）

回答No.7

kabaokaba

Stirlingの公式の～は
近似というよりは「漸近的に近い」というような
ニュアンスです
この場合，nがどんどん大きくなるにつれて
どんどん近くなるという意味で
1/n ～ 0 という書き方もOKですし
ぶっちゃけた話 n ～ n+1 です．
まあ，近似には違いありませんが，
ちょっとだけ違います

んで，高校三年生なら区分求積法は知ってますか？
Stirlingの公式はぶっちゃけた話，
積分で「説明」できます．
log n! = log 1 + log 2 + log 3 +・・・+ log n
です

∫_{k-1}^k log x dx
<=
log k
<=
∫_k^{k+1} log x dx
なので，これを
k=1からnまで足せば(k=1のときはちょっと工夫する)
（ここが区分積分の考え方）

n (log n) - n <= log n! <= (n+1)log(n+1) - n
・・・(1) 式
これを e の上にのっければ
だいたいの雰囲気がみえるでしょう

n^n e^n < n! < (n+1)^(n+1) e^n

こっからは高校の範囲を激しく超えます

でどっから 2π とかがでてくるのってことですが
式(1)の真ん中あたりをとるんです．
(n+1/2)(log n) - n くらいでよいかな
で，
(log n!) - ( (n+1/2)(log n) -n )
という数列（本当の値との誤差）を考えると
この数列は実は収束することが示せます

この収束値から 2π がでてくるんですけども
なんで？というのはご容赦を．
これはかなりめんどくさい，
もし，正規分布とか
ガウス分布ってのを知ってるならば
そーいう方面の議論からでてくるということだけ
言っておきます

================
大上段に構えると
実は階乗ってのは「ガンマ関数Γ」ってので
表せます
n! = Γ(n+1) という公式があります．

Γ(x+1) = ∫_{0}^{∞} e^{t} t^{x} dt
という式なのですが，この関数の性質を
調べることでもStirlingの公式はでてきます．
多分こっちの考え方のほうが一般的です．
大学１，２年生の微積分くらいです．

================
おまけ：
なんで n! に e とか π がってことですが
e^x = 1+ (1/1) x + (1/2!) x^2 + (1/3!) x^3+・・・
と階乗の逆数の和を使って
書けるのは知ってますか？
こんな感じで e と階乗はかなり親戚なんです
また，
e^{ix} = cos(x) + i sin(x) iは虚数単位
なんていう関係があります（オイラーの公式）
これから，e と三角関数も親戚だといえます
三角関数がでてくれば π がでてくるのも
不思議ではないでしょう．

回答No.6

tuort_sig

n!ですけど、kも使っていいならコレ。ΠはΣの積版です。

n
Πk
k=1

しかも、これなら御質問の数式の順通り表せます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%8F%E4%B9%97

回答No.5

noname#114912

No.2です。
～は近似を表します。
≒と同じ意味と捉えてください。

回答No.4

Chimrin

#1です。たびたび失礼します。
実は私は詳しく読んでいませんが、参考URLをどうぞ。

参考URL：

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/stirling/stirling.html

お礼

～
～

の記号の意味がわかりません。勉強不足のようです。

log e 20!が求められるってのはわかったんですが、
そこから20!が求められるってのがどうも・・。

高校三年生にもなれば、わりと何でもわかると思ってたのですが、全然甘かったです＾＾；；

これはこちらの知識不足ということで、正解の一つとして
受け取らせていただきます。ありがとうございました。

補足

あ・・・近似って意味かな？なんで≒で表さないんだ・・。
どの道、log e 20!→20!と、http://ja.wikipedia.org/math/f/2/2/f22396da34129573662b4ad01f822c59.png
の式の意味はわかりませんが＾＾；

回答No.3

Chimrin

#1です。
No.1の回答に記した参考URLに「Stirlingの公式」として階乗の近似値を計算する式が載っています。ご参考まで。

これ以上詳しい説明は私の能力を超えてますので、あしからず(^^;

お礼

あら、タイミングがずれてしまったようです；

私もまず、Wikipediaで調べてみなかったことを反省しています。どうもありがとうございました。１つの回答として受け取らせていただきます。

しかし、式の意味と意図がまったくつかめません・・（Stirlingの公式）

結構、誰でも考えつきそうな計算なのに、計算はめんどくさいんですね・・。

回答No.2

noname#114912

普通はn!とあらわします。
ちなみに0!=1と定義されています。

お礼

申し訳ありません。私の説明不足でした。
No1、No3のお礼に改めて、私の意図を書いたので、
再び回答してくださることを期待しています。

回答No.1

Chimrin

階乗ですね。n!と表記します。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97

お礼

ごめんなさい。僕の説明不足でした。
僕が意図していたことは、たとえば、
ｎに100を代入したときにすぐに答えを出せる式が
存在するかってことです。
たとえば1+2+3+4・・・・+n=1/2 n(n+1)と、nに代入すればすぐに出るじゃないですか。
そういうことです。申し訳ありませんでした。

しかし、そういう方法がないからこそ、ｎ!と表記するのかなぁ・・？

もし、あらわすことが出来ないなら、宜しければ、乗法のどのような特徴がそのような結果に至らせるのかの説明もお願いします。

補足

・・・っとよく見たら、参考URLにものすごく詳しく書いてありますね・・・。

1730年にジェイムズ・スターリングが提示した次の公式によって n の階乗を近似計算することができる。

と書いてあります。
式はhttp://ja.wikipedia.org/math/f/2/2/f22396da34129573662b4ad01f822c59.png
のようです。

・・・式の意味はいまいちわからないけどorz
なんでeが出てくるのだろう・・。
誰か、説明してもらえませんか？
または、別の式でもいいです（n!を簡単に計算する）