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シグマの計算について

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お礼率 86% (456/526)

n^2のシグマ公式についてお聞きしたいのですが、Σn^2=n(n+1)(2n+1) / 6 だとおもうのですが、Σn^2=Σ(n・n)と考えて、nのシグマ公式の2乗と考えて、{n(n+1) / 2}^2 だと公式の結果と違ってくるのはなぜなのでしょうか。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1

Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか?

Σ(n^2)=(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2=(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>Σ(n^2)と(Σn)^2は等しいですか?
Σ(n^2)=(1^2)+(2^2)+(3^2)+…
(Σn)^2=(1+2+3+…)^2
ぜんぜん違うと思うのですが…

はい、ごもっともです。言われてみると、ああそうか!という感じがします。なるほど、そういうことだったんですね。C_ranさんどうもありがとうございました!
投稿日時 - 2002-03-05 09:22:17
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 30% (137/450)

Σn^2=Σ(n・n) これに対して Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn) とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、 上の式は成立しません。 積ではなく、和ならば Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn) となるのですが。   残念ですね。 ...続きを読む
Σn^2=Σ(n・n)
これに対して
Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

積ではなく、和ならば
Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn)
となるのですが。
 
残念ですね。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>Σn^2=Σ(n・n)=(Σn)・(Σn)
とできれば、あなたのおっしゃる通りになりますが、
上の式は成立しません。

uyama33さんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。Σ2n=Σ(n+n)=(Σn)+(Σn) の計算のように分割できるんじゃないかと思ったのですが、できないんですね。残念です。どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-05 09:23:28


  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 50% (1133/2260)

 既に回答がある様に,『Σ(n^2) = (Σn)^2』とはなりません。  具体的に簡単な例を見てみましょう。n = 2 までの和を考えてみると,  Σ(n^2) = 1・1 + 2・2  (Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1  いかがですか,(Σn)^2 には Σ(n^2) の項以外に 1・2 や 2・1 の項が出てきます。 ...続きを読む
 既に回答がある様に,『Σ(n^2) = (Σn)^2』とはなりません。

 具体的に簡単な例を見てみましょう。n = 2 までの和を考えてみると,

 Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
 (Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

 いかがですか,(Σn)^2 には Σ(n^2) の項以外に 1・2 や 2・1 の項が出てきます。これはどんなnに対してもそうなります。したがって,Σ(n^2) ≠ (Σn)^2 です。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>Σ(n^2) = 1・1 + 2・2
 (Σn)^2 = (1 + 2)・(1 + 2) = 1・1 + 2・2 + 1・2 + 2・1

rei00さんこんにちは。具体的に値を代入してみると、両者の式の違いが鮮明になりますね。とてもわかりやすかったです。これからこういうところで間違えないように特に気をつけをようと思います。
投稿日時 - 2002-03-05 09:23:56
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

まったくの蛇足ですが。。。 (Σn)^2 = Σn^3 がいえます。 んーっと、これは、たとえば、 {Σ(n+1)}^2 - (Σn)^2 = {Σ(n+1) + Σn} * {Σ(n+1) - Σn} = {2*Σn + (n+1)} * (n+1) = {n(n+1) + (n+1)} * (n+1) = (n+1)^3 という式を用いて、数学的帰納法で示せます。 s-wordさんの ...続きを読む
まったくの蛇足ですが。。。
(Σn)^2 = Σn^3 がいえます。
んーっと、これは、たとえば、
{Σ(n+1)}^2 - (Σn)^2 = {Σ(n+1) + Σn} * {Σ(n+1) - Σn}
= {2*Σn + (n+1)} * (n+1)
= {n(n+1) + (n+1)} * (n+1) = (n+1)^3
という式を用いて、数学的帰納法で示せます。

s-wordさんの要求している回答とはまったく違った方向の話なので、回答に対する自信はなしとします。お茶濁しですみません。(^^;)
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

kony0さんこんにちは。Σn^3 =(Σn)^2 のおかげで、覚える公式が一つ減るのでうれしいです(^^)。Σn^2 の公式は覚えるのにだいぶ苦労しました。Σn^3 =(Σn)^2 の公式は前に帰納法のセクションでやった覚えがあるので、比較的すっきりと頭に入ってきました。どうもお返事ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-05 09:24:19
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