力学的エネルギー保存の法則

質問

力学的エネルギー保存の法則が理解できません。

弾性力のみ働く場合
1/2mv^2+1/2kx^2=1/2m'v^2+1/2k'x^2

重力のみ働く場合
1/2mv^2+mgh=1/2m'v^2+mgh'

「弾性力のみ」「重力のみ」上の二つの式を見ると二つとも「1/2mv^2」と言う運動エネルギーが働いているように思えます・・・だって式に書いてあるのですから。「弾性力のみ」「重力のみ」なら、「mgh」「1/2kx^2」だけを書けばいいのではないでしょうか。 本当に良く分からないので、どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.3

syu-chem · ベストアンサー

力学的エネルギー保存の法則とはその名のとおり物体の持つエネルギーは保存されるということです。

例えば地上からの高さhから質量mの物体を落とします（空気抵抗はないとします）。物体が高さhの時、つまり物体を落下させる前にはmghのエネルギー（位置エネルギー）を物体は持っています。そして手を離して物体を落下させます。
では物体が落ちているある瞬間に目を向けましょう。この瞬間、物体はどのようなエネルギーをもっているのかというと、物体は位置エネルギーと運動エネルギーを持っています。

さて、物体を落下させる前には位置エネルギーしかなかったはずなのに物体が落ちているある瞬間では物体は位置エネルギーに加えて運動エネルギーというエネルギーを持っています。
なぜこのようになるかというと、はじめの位置エネルギーが運動エネルギーにどんどん変換されていくからです。つまり、物体が落ちていくと、はじめに持っていた位置エネルギーが運動エネルギーにだんだんと変わっていくのです。
また、位置エネルギーが運動エネルギーに変わる際にはエネルギーのロス（損失）はなく、1[J](J：ジュール　エネルギーの単位)の位置エネルギーを物体が失うと、1[J]だけ物体の運動エネルギーは増えます。
(1[J]の位置エネルギーを失ったのに0.5[J]の運動エネルギーしか得られなかったり、1[J]の位置エネルギーを失って10[J]の運動エネルギーを得てしまったりということはないのです。)
これが力学的エネルギー保存則なのです。

ではこの場合を式で表してみましょう。物体を落下させる前の高さをh、質量をmとします。物体が落下しているある瞬間では物体の地上からの高さh'、速さはv'であるとします。すると
mgh=mgh'+1/2mv'^2(=一定)となります。
なぜmgh=mgh'+1/2mv'^2になるかというと、上で述べたように位置エネルギーが1[J]減れば1[J]だけ運動エネルギーが増加するからです（エネルギーのロスは起こっておらず、保存されていますよね）。

この場合だけでなくもっと一般的に使いやすいようにしてみましょう。すると
mgh+1/2mv^2=mgh'+1/2mv'^2=mgh''+1/2mv''^2=・・・=一定
となります。つまり
mgh+1/2mv^2=一定となるわけです。

さて、重力のみ、という場合にはmghだけを書けばいいとおっしゃっていますが、これはmgh=mgh'=一定　と書けばいいということでしょうか。このように解釈して答えます。
上述しましたように、物体を落下させるときには
(始めの位置エネルギー)=(ある瞬間での運動エネルギー)+(ある瞬間での位置エネルギー)=・・・=一定
という関係が成り立ちます。つまりmgh=mgh'とはならないのです。

ばねの場合は考えてみてください。

非常に見づらくなってしまいました。また、的外れな解答だった場合は申し訳ありません。

補足

いやぁ～、非常に分かりやすいです。感動しました。こんなに分かりやすい説明を聞いた後なので、ばねの場合は考えるまでもなく、「mghが1/2kx^2に変わっただけ」と理解することが出来ました。
本当にありがとうございました。感謝しています。

回答No.4

Willyt

しかしいまだに、両方の式に「1/2mv^2」を入れる理由が分かりません。これって弾性力でも、重力でもないですよね。重力のみまたは、弾性力のみ働くのに、どうしてこの「1/2mv^2」がそれぞれに入っているのでしょう

これで何を疑問に思っておられるのかがわかりました。
それは運動エネルギーなのです。機械エネルギーということもあります。物体がほかの物体に対して相対的に動いているときには、そのほかの物体から見ると式に表されている分だけエネルギーが大きく見えるのです。

回答No.2

am3141592

「力」と「エネルギー」を整理しましょう。働くのは力で、保存されるのはエネルギーです。付け加えると力が働いた結果が－数学的に言うと積分したもの－がエネルギーです。
この場合、弾性力と重力はkxとmgです。これらが働いたときに、弾性エネルギ1/2kx^2ーや重力エネルギーmgh(ポテンシャルとも言うのかな)と運動エネルギー1/2mv^2の和が一定と言うことになるのだと思います。

回答No.1

Willyt

両方とも式が根本的に間違っています。それぞれ
1/2mv^2+1/2kx^2=一定
1/2mv^2+mgy=一定

とするか、両方を併せて
1/2mv^2+1/2kx^2+mgy=一定

とするべきです。これなら判るでしょう？　本当はこれだけでは不十分です。熱エネルギーも勘定に入れなければなりません。

補足

僕が書いた式は一応有名な受験参考書に載っていたものでした。Willyさんが書いてくださった式と書き方が違うだけで問題集の図などを見ると、意味は同じだと思います。
しかしいまだに、両方の式に「1/2mv^2」を入れる理由が分かりません。これって弾性力でも、重力でもないですよね。重力のみまたは、弾性力のみ働くのに、どうしてこの「1/2mv^2」がそれぞれに入っているのでしょうか。