確率について

質問

次の問題を教えてください。
５つのおはじきに１から５までの数字が書いてあり、区別できるようになっている。この５つのおはじきを横に一列に並べる実験を考える。
（1）この実験を記述する標本空間は何個の標本点からできているか。
（2）番号1のおはじきが左端にくる並びどうしにそれぞれ等しい確率を設定し、番号1のはじきが左端にこない並びどうしにもそれぞれ等しい確率を設定する。しかし、番号1のおはじきが左端にくる並びにはそうではない並びの2倍の確率を設定するものとする。この時、番号1のおはじきが左端にくる並びに設定される確率を求めよ。
（3）（2）で設定された確率で、番号1のおはじきと番号2のおはじきが隣り合う確率を求めよ。
（4）（2）で設定された確率で、番号5のおはじきが左端に並ぶという条件のもとで、番号1のおはじきと番号2のおはじきが隣り合う条件付確率を求めよ。
ヒントでもよろしいので宜しくお願いします。

回答No.4

starflora

No.2 の人が正解だというのなら、そういうのは自由ですが、しかし、（４）の回答で二つ答えを出している通り、質問が、まわりくどいというか（わたしの理解力がないと言うか）、何を尋ねているのか、（２）も（４）も、よくよく考えて、こちらだろうと思った方の答えを書いたのです（４の場合は、二つ書きました）。

　　（２）の質問は、
　　＞この時、番号1のおはじきが左端にくる並びに設定される確率を求めよ。

　　とあるのですが、「設定した確率」の数字を求めよなら、わたしの１／３という答えは、これは、１が左端に来るイヴェントの起こる確率をそうでないイヴェントの確率の２倍に設定した時、１が左端に来るイヴェントの起こる「ケース全体」の確率を求めているもので、ケースの数は、４！だと言っていますから、個々のイヴェントについての確率なら、（１／３）（１／２４）＝１／７２です。

　　この文章は、問題を解く順序から言うと、１／７２の確率を求めて、後はそれを適用するとよいので、１／７２を、設問者は期待していたのだと、あとでわたしも思ったのですが、わたしの文章の読み方が悪かったのかも知れないですが、「設定する確率」と「設定される確率」は違う訳で、「２倍の差を付けて確率を設定すると、その結果、設定される確率を求めよ」だと、２倍の差を付けて設定した確率は、「個々のイヴェントの確率」で、そういう設定の結果、「設定される確率」とは、「１が左端に来るケース（全体）の確率」と読めたということです。

　　実は、「並びどうしにそれぞれ等しい確率を設定」のこの「どうし」は何故付いているのか、考え込んだのです。わざわざ「どうし」を付けているのは、個々のイヴェントを念頭し、「イヴェント同士」と読むのだと了解してみると、質問の部分には、もし「並びどうしに設定される確率」とか「並びそれぞれに設定される確率」なら、１／７２ですが、個々のイヴェントなら、この書き方なら、「１が左端にくる並びに設定された確率」というのは、「１が左端にこない並びに設定された確率の二倍」であり、それは自明であるとなります。

　　わたしの日本語の読み方がおかしいと言うのなら、間違いでも構いません。しかし、もう一度繰り返すと、「番号1のおはじきが左端にくる並びに設定される確率を求めよ」というのは、「個々の並び」の確率か、そういう「並びのケース」の確率か、必ずしもこれだけで、確実にそうだとは云えない曖昧な表現だと思います。文脈を考慮しても、わたしの読み方が、必ず排除されねばならないとは思えません。

　　（４）の問いの場合は、ケースの全体確率を求めたのですが、（３）で二つのケースを分けて計算しているので、５が左端に来るという条件を付けると、二つのケース分けの一方は、ありえなくなるので、個々の並びの確率を求めるという計算に進んでいたのだと云えます。

　　（「条件付き確率」などと言っているので、個々のイヴェントの確率だと思ったというのが妥当かも知れません。（２）も（３）も、実は「条件付き確率」を求める問題で、別の条件を付けると、それまで「確率」と言っていたのが「条件付き確率」となったので、幻惑されたのだとも云えます）。　

------------------------------------

　　＞左端に1がくる確立のところは理解できたのですが、
　　＞左端に1がこない確率を説明している所がいまいち理解できません。

　　これは、記法が分かりにくかったので、（２１）は、左端に、２が来て、その右の位置に１が来る並びで、（１２）は、左端に１が来て、その右に２が来る場合ですが、こういう場合は、確率設定が違いますから、この場合は排除しているのです。

　　（２３）（３２）（３４）（４３）（４５）（５４）も同じ意味で、混乱しているように見えるのは、（２３）は、２の位置に１が来て、３の位置に２が来ると言う意味なのです……（３２）は、３の位置に１，２の位置に２が来るという意味です……つまり（４５）などの４や５は位置の数字で、４か５の位置に１か２のおはじきがそれぞれ入る二つのケースを、こういう記法で書いたのです。

　　これが（１２）や（２１）だと、位置を示す１，２と、その位置にくるおはじきの番号１，２が明確に区別できないので、分かりにくかったのだと思います。どうも、不適切な表現で、申し訳ありません。