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Y=sinX と Y=cosX の交点

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  • 質問No.220762
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お礼率 19% (12/63)

Y=sinX と Y=cosX (0<X<π)の交点ってどうすれば求められるんですか?

        答えは4/πとなります。
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回答 (全5件)

  • 回答No.1

こんにちは! 直角三角形で、斜辺に対し、底辺と高さが同じという事だから45度(Π/4)は、わかるかな・・・? (4/Πでなくて、Π/4の間違いだよね) さて、解きますよ。 普通に sinX=cosXとします sinX-cosX=0 √2sin(X-Π/4)=0 この変形大丈夫? わからないときはまた質問してください! 0<X<Πより-Π/4<X-Π/4<3Π/4 よってsin(X-Π ...続きを読む
こんにちは!
直角三角形で、斜辺に対し、底辺と高さが同じという事だから45度(Π/4)は、わかるかな・・・?
(4/Πでなくて、Π/4の間違いだよね)

さて、解きますよ。
普通に sinX=cosXとします
sinX-cosX=0
√2sin(X-Π/4)=0 この変形大丈夫?
わからないときはまた質問してください!
0<X<Πより-Π/4<X-Π/4<3Π/4
よってsin(X-Π/4)=0
X-Π/4=0   sin0=0だからです!
すなわち、X=Π/4 となります

もし、0<X<Πがない場合(Xに制限がない場合)
sinA=0
A=nΠ (n=0、±1、±2・・・)
を使って
X-Π/4=nΠ (n=0、±1、±2・・・)
X=Π/4+nΠ (n=0、±1、±2・・・)となります。


  • 回答No.2
レベル4

ベストアンサー率 33% (1/3)

交わる点のX座標は sinX=cosX を満たす。0<X<90度ではcosXは0でないから 両辺をcosXで割ると tanX=1 これは直角2等辺三角形の場合ですよね。 だからX=45度=π/4 このときY=1/√2 これが求める交点の座標です。
交わる点のX座標は
sinX=cosX
を満たす。0<X<90度ではcosXは0でないから
両辺をcosXで割ると
tanX=1
これは直角2等辺三角形の場合ですよね。
だからX=45度=π/4
このときY=1/√2
これが求める交点の座標です。
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 31% (47/149)

あらあら。 急いでるかと思いますが、問題と答えを書くなら正確に書きましょうよ。 >交点 交点のX座標ですか?Y座標ですか?それとも座標ですか? sinX=cosXをとけばいいです。 両辺2乗して six^2X=cos^2X ⇔six^2X=1-six^2X ⇔six^2X=1/2 0<X<πより sixX=1/√2 ⇔X=π/4 この時 Y=π/4
あらあら。
急いでるかと思いますが、問題と答えを書くなら正確に書きましょうよ。


>交点
交点のX座標ですか?Y座標ですか?それとも座標ですか?

sinX=cosXをとけばいいです。
両辺2乗して
six^2X=cos^2X
⇔six^2X=1-six^2X
⇔six^2X=1/2
0<X<πより
sixX=1/√2
⇔X=π/4
この時
Y=π/4
  • 回答No.4

先ほどは私も急いじゃいましたね・・・。 交点なので座標でしょ。 X=Π/4 Y=sinΠ/4=cosΠ/4=1/√2 よって (Π/4、1/√2)です Xの制限がない場合は (Π/4±nΠ、1/√2)です。 気になったのですが・・・。 このXの範囲ではcosは負にもなります。 よって、断りなくいきなり2乗は絶対まずいです! また、0<X<Πなので勘違いしている方もいますよ・・・。 ...続きを読む
先ほどは私も急いじゃいましたね・・・。
交点なので座標でしょ。
X=Π/4
Y=sinΠ/4=cosΠ/4=1/√2
よって
(Π/4、1/√2)です
Xの制限がない場合は
(Π/4±nΠ、1/√2)です。

気になったのですが・・・。
このXの範囲ではcosは負にもなります。
よって、断りなくいきなり2乗は絶対まずいです!
また、0<X<Πなので勘違いしている方もいますよ・・・。Π=180度です。
sin、cosをsinだけの式にするのは結構有効なのでぜひ覚えてくださいね!!!
  • 回答No.5
レベル8

ベストアンサー率 34% (8/23)

無関係者だけど一言(w >>4の方へ sin xとcos xを等式で繋いでるんだから、 複合同順とすれば問題はないんじゃないんですか? 2乗するとx=1/(root2), -1/(root2)が出て来ますが、 どのみちcos xにも当てはめて、 x=1/(root2)のみ適ということが求まりますし。 あと、先ほども言った通り、 sin xとcos xは複合同順で無いとい ...続きを読む
無関係者だけど一言(w

>>4の方へ
sin xとcos xを等式で繋いでるんだから、
複合同順とすれば問題はないんじゃないんですか?

2乗するとx=1/(root2), -1/(root2)が出て来ますが、
どのみちcos xにも当てはめて、
x=1/(root2)のみ適ということが求まりますし。
あと、先ほども言った通り、
sin xとcos xは複合同順で無いといけないということを用いると、
pi/2<x<piの範囲でsin x>0, cos x<0になるので、
最初から0<x<pi/2に範囲が限定されるという風にしてもいいですけどね。



解法についてはもう他の皆さんが行ったので、
視覚的に理解できる方法を一つ。

x-y座標平面上に単位円(原点を中心とする半径1の円)を描きます。
そして、x軸の正の範囲を始線として反時計回りに角度tとなるところに
端点を原点として半直線を引き、その半直線と単位縁との座標をPとします。

すると、sin tはPのy座標、cos tはPのx座標になります。
証明は簡単ですね、単位円は半径1だから、
あとは正弦、余弦の公式に当てはめれば。

ともかく、これで先ほどの問題を考えてみれば、
条件を満たす角度xは、
関数y=xと単位円との交点であるということが
視覚的によく分かりますね。

別にこの問題に限ったことではありませんが、
図形など幾何的な知識を要する問題は、
このようにして視覚的に理解できるのが面白いです。
ただ、4次元以上になると図の出番はありませんが(w
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