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割り算の余りについて

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  • 質問No.220048
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お礼率 100% (18/18)

僕は、中学三年生です。
割り算の余りについて質問をします。

例えば、21nを41で割るとします(1≦n≦41)。
もちろん余りの範囲は、0~40ですよね。
ここで疑問なことが、なぜ余りが一回ずつ出てくるのか
ということです。

分かる方がいましたら、ぜひ教えてください。
よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

もし、21aと21bを41で割った余りが同じとなるようなa,bが1~41の間にあるとする。
すると、21(a-b)は41の倍数である。(余りが同じなので)ここで、21と41は互いに素(最大公約数が1)なので、a-bは41の倍数である。
さて、ここで、a-bの範囲は-40~40の間にしかなり得ないので、41の倍数となるa-bはa-b=0以外にありえない。つまりa=bである。

これを逆に読めば(数学的には「対偶をとると」・・・中学生なら「対偶」という言葉は知らないかもしれませんが^^;)、21n(1≦n≦41)を41で割った余りはnが異なるとすべて異なる(どの2つをとっても余りが一致することはない)ということがいえます。
ところで、余りは全部で当然41通りしかないので、
・41個の余りがすべて違う
・余りは0~40の41通りしかない
ということで、すべての余りが1回ずつ出現することが示せます。

つまり議論の根幹は、21と41が互いに素であることに尽きます。

こんなんでどうでしょうか?!
お礼コメント
nakata007

お礼率 100% (18/18)

ありがとうございます。

こんなアホな中学生にちゃんと分かる説明をどうも!!
感激です!!
100本の糸が1つになった感じです。
投稿日時 - 2002-03-29 16:52:33
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  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 23% (256/1092)

21を2倍してみましょう。42でしょ? そうすると、41で割ると、42は余り1です。 はい、では、nが偶数の時と奇数の時に分けて考えましょう。 nが、2,4,6,8,・・・,40の時、 余りは1,2,3,4,・・・,20ですね。 奇数の時、まず、n=1なら21が余りということになります。 nが、1,3,5,7,・・・,39の時、 余りは21,22,23,24,・・・,40になります。 ...続きを読む
21を2倍してみましょう。42でしょ?
そうすると、41で割ると、42は余り1です。

はい、では、nが偶数の時と奇数の時に分けて考えましょう。
nが、2,4,6,8,・・・,40の時、
余りは1,2,3,4,・・・,20ですね。

奇数の時、まず、n=1なら21が余りということになります。
nが、1,3,5,7,・・・,39の時、
余りは21,22,23,24,・・・,40になります。

そして、nが41の時は割り切れます。

つまり、余りが41通り出るのは、こういう規則性があるからです。
「数学的帰納法」というので説明すると楽なのですが、なにぶん中学3年では習っていないでしょうから、なかなか説明しづらいですね。
お礼コメント
nakata007

お礼率 100% (18/18)

ありがとうございます。
規則性ですか・・・。
数学帰納法というものもじきじき習うと
思うので、調べてみたいと思います。
投稿日時 - 2002-02-20 08:42:47


  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 24% (15/61)

 「なぜ余りが一回ずつ出てくるのか」というのが、何を疑問に思っているかいまいちよく分かりません。もう一度くわしく質問しなおして見てください。 ...続きを読む
 「なぜ余りが一回ずつ出てくるのか」というのが、何を疑問に思っているかいまいちよく分かりません。もう一度くわしく質問しなおして見てください。
お礼コメント
nakata007

お礼率 100% (18/18)

ありがとうございます。
余りが一回って言うのは、一つのセットに
一回出てくることなんですが・・・。
そう書かなかった僕が悪いです。
失礼しました。
投稿日時 - 2002-02-20 08:41:40
  • 回答No.3
レベル9

ベストアンサー率 33% (33/98)

ぶっちゃけた話、整数が1おきに並んでいるからです。 厳密な話はさておき、p,n,mを整数とします。 また、p を n で割った余りを p % n で表すことにします。 このとき p % n = np % n (∵ p=p'×n + m とすると p/n = p' 余り m) (p+1) % n = (p % n) + 1) % n (∵p=p'×n + m とす ...続きを読む
ぶっちゃけた話、整数が1おきに並んでいるからです。

厳密な話はさておき、p,n,mを整数とします。
また、p を n で割った余りを p % n で表すことにします。
このとき
p % n = np % n (∵ p=p'×n + m とすると p/n = p' 余り m)
(p+1) % n = (p % n) + 1) % n (∵p=p'×n + m とすると (p+1)/n の余りは (m+1)/n の 余り )
(ややこしいですが、一周した場合も考えると、最後の % n が必要です)

が成り立ちます。
つまり、整数p は1ずつふえるとき、余りm も1ずつ増えていきます。ところが、余りm が 割る数n と等しくなったとき、余りは再び 0 に戻ります。

そのため、余りは 0,1,2,…,n-1 を繰り返すわけです。

おおざっぱな割に、ちょっとややこしくなってしまいました(ごめんなさい
わかりにくいところがあれば、補足をお願いします。
お礼コメント
nakata007

お礼率 100% (18/18)

ありがとうございました。

これから高校生になるので、こういう
知識を前もって持つことができたのがうれしいです。
投稿日時 - 2002-03-29 16:51:01
  • 回答No.5
レベル8

ベストアンサー率 41% (13/31)

同じ余りが出てくると仮定すると矛盾することを示します 21と41が、互いに素なことが重要です 例えば、1≦m<n≦41を満たすm,nに対して 41で割るとき21nと21mの余りが同じだとします。 21n=41A+r 21m=41B+r 両辺を引くと 21(n-m)=41(A-B) また21と41は互いに素より、n-mは41の倍数になる すなわち、矛盾します。(n,mは、異なりともに41よ ...続きを読む
同じ余りが出てくると仮定すると矛盾することを示します
21と41が、互いに素なことが重要です
例えば、1≦m<n≦41を満たすm,nに対して
41で割るとき21nと21mの余りが同じだとします。
21n=41A+r
21m=41B+r
両辺を引くと
21(n-m)=41(A-B)
また21と41は互いに素より、n-mは41の倍数になる
すなわち、矛盾します。(n,mは、異なりともに41より小さい)
したがって、余りが同じものはなく全部異なることになります。
証明で納得いかなければ、円状に0から40までの数字を書き
21ごとにぬりつぶしていけば均等にぬりつぶせるばずです。
この分野を勉強するには合同式を理解したほうがいいです
中学生にも理解できると思います。
また、この事実よりフェルマの小定理が証明されます。
お礼コメント
nakata007

お礼率 100% (18/18)

ありがとうございました。

中学生にも理解可能です。
中学生といってももう高校生なので、逆に分からなければ・・・。
とにかくありがとうございました。
投稿日時 - 2002-03-29 16:53:55
  • 回答No.6
レベル9

ベストアンサー率 33% (33/98)

問題読み間違えてました。ごめんなさい。 お詫び代わりにもならないのですが、少し横やりを^^; 「合同式」というのは、 a ≡ b (mod n) : a と b は n を法にして合同 というような奴で、ガウスさんが考えたんだったと思います。 例えば、時間の「分」は60を法にしていますし、「アナログ時計の時針」は12を法にしています。 参考になりそうなURLをあげておきます。 ...続きを読む
問題読み間違えてました。ごめんなさい。

お詫び代わりにもならないのですが、少し横やりを^^;
「合同式」というのは、
a ≡ b (mod n) : a と b は n を法にして合同
というような奴で、ガウスさんが考えたんだったと思います。

例えば、時間の「分」は60を法にしていますし、「アナログ時計の時針」は12を法にしています。

参考になりそうなURLをあげておきます。

http://www.my-j.net/~jmaeda/conmath/chp11/chp11.html フェルマーの小定理も扱われていますし、証明はありませんが、この問題が扱われています。
http://www.sur.ac/faq/mod.html フェルマーの小定理も扱われています
http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/mod.html
お礼コメント
nakata007

お礼率 100% (18/18)

ありがとうございました。

ご丁寧に、URLまで・・・。
参考になりました。
投稿日時 - 2002-03-29 16:54:49
  • 回答No.7
レベル10

ベストアンサー率 20% (38/185)

たしか、大学への数学の特別版(?)みたいなので、 「マスターオブ整数」ってゆうのが有ると思う。 その本に、あなたの質問の、けっこう面白い説明がのっていたとおもう。 とりあえず、でかめの本屋で探してみて、立ち読みすべし。 君なら他のページにも興味を覚えるかもしれない。 http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan/master_of/in ...続きを読む
たしか、大学への数学の特別版(?)みたいなので、
「マスターオブ整数」ってゆうのが有ると思う。
その本に、あなたの質問の、けっこう面白い説明がのっていたとおもう。

とりあえず、でかめの本屋で探してみて、立ち読みすべし。
君なら他のページにも興味を覚えるかもしれない。

http://www.tokyo-shuppan.co.jp/products/d_zoukan/master_of/index.html
お礼コメント
nakata007

お礼率 100% (18/18)

ありがとうございます。

ついに大学まで・・・。
今度本屋さんで探してみます。
投稿日時 - 2002-03-29 16:55:43
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