１＋１＝２の証明って？

質問

１＋１＝２であることを証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか？
虚数を使うとか何とかって言ってたような

回答No.18

stomachman

No.l8のDASSさんのコメント、またしてもポイントを突かれちゃいましたね。大切な部分です。
こんどは "=" についての考察でしょう。

　x=y とは何を言っているのか。これは実は「一階述語論理」の範疇を少し越えているのです。つまり "="の公理というのはちょっくら胡散臭い。それはこういうものです。
「xを含みyを含まない任意の命題A(x)において、xをすべてyに書き換えて得られる命題をA(y)とするとき、x = y　とは どんなAを持ってきても、A(x)が成り立つこととA(y)が成り立つ事が同値である（一方が真なら他方も真、一方が偽なら他方も偽である。）ということを表す。」
　つまり、どんなAについても、xとyは同じ性質を示すということを言っているわけです。その帰結として「=の反射則」
x = x
任意の対象xはそれ自身と = で結ばれる、ということ、「=の交換則」
x = y ならば y = x
である。および「=の推移則」
x = y でありしかも y = z ならば x=z
である。が出てきます。

　No.18では 1+1と2を全く無縁のものとして別々に定義しておいて、あとから両者を直接 = で結ぼうとしていますが、そのやりかたですと、あらゆる命題Aについて両者が同じ真・偽の値を示す、ということを証明しなくてはならない。これは容易なことではありません。

　そういうわけでして、stomachman足し算においては、2=S(1)は一応1+1とは別物として定義され、1+1=2は証明を要することでした。
そして両辺が1+1={0,1}, 2={0,1}つまり
{0,1} = {0,1}
であることによって、この証明は完結したんです。

*なお、No.17とNo.l8の間にあった削除されたやりとりは、回答者が自分のHPを紹介するという反則技を使ったために、明らかな規約違反となったもので、決して「議論が白熱しすぎてスレッドが荒れた」ということではありません。数学スレッドに限らず、こう何度も管理部の介入があるのは珍しいですね。