１＋１＝２の証明って？

質問

１＋１＝２であることを証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか？
虚数を使うとか何とかって言ってたような

回答No.16

stomachman

No.16 のコメントについて：
どうも、勝手に突走っちゃって申し訳ございませんでした。
本来の目的は、言うまでもなく質問者の疑問解消です。どうか諦めないで「どのあたりが納得行かない」「これはおかしいのでは」とか、具体的な補足をして戴けると良いのですが。
なお、tgbさんは適切な補足質問をしてくれただけであって、バトルでも何でもありませんから、お気遣いなく。

●どこまでを暗黙の了解として使っていいのか。

　核心を突いた疑問です。No.4でaminouchiさんが回答なさっている通り、数学で使う最も基本的な道具立てに何と何があるか、ということをはっきりしておかないと、１+1=2　の証明が証明になっているのかどうか分からなくなります。それをきちんとやるには、大学ノート一冊分ほどの分量が必要になる。
　ですから全部は書けませんが、ここで前提にしているのは、
（１）記号論理のルール　（正確には「一階述語論理」というもの。）
（２）集合に関する数個の公理
です。その中で、
・ふつうに物を考える時のような推論が許されています。（ここが実は「何が証明か」ということを定義している部分なので、おろそかにはできないのですが、大学ノートの１／３ぐらいはこれだけで埋まってしまいます。）
・アルファベットの記号で何か、集合を指し示すことが許されています。
・集合の概念、空集合φ、{ } を使った集合の構成、集合同士の演算∪、∩、集合同士の関係⊂、などが定義されており、集合Aとその要素xとの関係 x∈A も使えます。
・さらに関数という概念も定義されています。関数とは、ある集合に別の集合を対応付けるもの、ということですね。
・しかしまだ数というものは定義してない。
従ってこの段階で何か操作の対象となりうるのは集合だけである。
そういう状態でスタートします。

●「カウンター」って言葉について。

[1] ∪は二つの集合を合併させる（ひとつにくっつける）ことを表す記号です。
{ねこ,ぶた}∪{たぬき,さる} = {ねこ,ぶた,たぬき,さる}
という具合。

そして
s(n) = n∪{n}
このs(n) というのが「nの次の数」を作り出す関数です。

[2] s(n)と0=φ(空集合)
を使って、
1 = s(0) = {0}
2 = s(1) = {0,1}
3 = s(2) = {0,1,2}
：
というふうに自然数を作り出しました。

s(n) = n∪{n}
において、nは集合です。たとえば n = 1 = {0} だとすると、
2 = s(1) = 1∪{1} = {0}∪{1} = {0,1} = {φ,{φ}}
ということになります。つまり{0,1}という集合に2という名前をつけた(2と定義した)わけです。
2は一つの自然数であるけれど、2={0,1}という２つの要素(0と1)を持つ集合、とも見ることができる。
その要素である0, 1は既に定義してあるから2を定義するのに使って構わない。
そして、1は{0}という集合の名前であり、0はφ(要素のない集合）の名前です。だから、
2と {0,1} と{φ,{φ}}はどれも同じものを表しています。

[3] 数を数えること、つまり「１、２、３、…」と唱えるのは、「直前に言った数の、次の数を言う」という操作を繰り返しやっているでしょう。だから、
1= s(0)
2 = s(1)
3 = s(2)
という風に数を並べていく操作と同じです。これは「次の数」を表すs(n)だけあればできる。足し算は必要有りません。このように数を唱えることを、仮に「カウンター」と呼んだに過ぎません。

お礼

また、回答が削除されてしまったようですが、そこに載せていただいたURLのページ
全部読みましたが、公理(既に確からしいこと？)とかの話って、もう哲学に近くなってしまって数学の奥深さを思い知らされました。
No.16で説明されてることはとても良く理解できるんですが、正直これを納得してしまっていいのかなって思ってしまうんですよね(疑ってるようで申し訳ないんですがそういうわけではなくて)、でも悩んでも正しく判断する術をもっていないので、これ以上の議論を続けることができません。すみませんが、やっぱり締め切らせていた抱くことにします。もっと高度な数学を勉強してからでないとダメなんでしょうな。おつき合い頂きありがとうございました。

補足

わかりました、以上の解説を踏まえて、もう一度皆さんの解答を読み直してみますね
返事は整理がついてから、したいと思います。