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1+1=2の証明って?

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お礼率 59% (319/540)

1+1=2であることを証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか?
虚数を使うとか何とかって言ってたような
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回答 (全18件)

  • 回答No.6
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

きちんとやるとなるとNo.4のaminouchiさんのおっしゃる通りですが、ま、感じだけ掴んでいただくのなら。 空集合をφと書くことにします。 まず小さい自然数の定義です。 ●φを0と書くことにします。 そして、演算s(n)を ●s(n) = {n}∪n と定義します。実はs(n)は「nの次の数」を表すんです。 ●s(0)={0}を1と書くことにし、 ●s(1)={0,1}を2と書 ...続きを読む
きちんとやるとなるとNo.4のaminouchiさんのおっしゃる通りですが、ま、感じだけ掴んでいただくのなら。

空集合をφと書くことにします。

まず小さい自然数の定義です。
●φを0と書くことにします。
そして、演算s(n)を
●s(n) = {n}∪n
と定義します。実はs(n)は「nの次の数」を表すんです。
●s(0)={0}を1と書くことにし、
●s(1)={0,1}を2と書くことにします。
●s(2)={0,1,2}を3と書くことにします。
この定義は、集合の要素の個数がその数を表しています。2を定義するのに"+"を使っていないところがミソですね。

 さて今度は+の定義です。+は二つの自然数を一つの自然数に対応させる2変数関数ですから、本来
+(n,m)
と書くべき所を
n+m
と書いているに過ぎない、と考えます。で、+(n,m)を定義するために一つ補助的な3変数関数fを考えます。ここに
●f(n,m,m)=n
●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
そして
●+(n,m)=f(n,m,0)
と定義します。
かくて、とりあえず必要な道具は揃いましたよ。

1+1 = +(1,1) = f(1,1,0) = f(s(1),1,s(0)) = f({1}∪1,{0},{0}∪0)
= f({1}∪{0},{0},{0}∪φ) = f({0,1},{0},{0}) = {0,1} = 2


そうだ、ご理解を深めるために、ひとつ応用問題を付けましょう。
●g(n,m) = f(0,n,m)
と定義します。
この関数gは何を表しているでしょうか。


  • 回答No.7
レベル9

ベストアンサー率 75% (28/37)

 stomachmanさんの証明を見て、すっかり感心しました。 しかし、加法、減法の演算を内包したような得体の知れない 関数が突然定義される事に引っかかりを感じ、検討している 内に、この証明にちょっとした細工をすれば  1+1=3 も"証明"できることを発見しました。 ●f(n,m,m)=s(n)   ... ここに細工( s(n) <--n ) ●m≠kのと ...続きを読む
 stomachmanさんの証明を見て、すっかり感心しました。
しかし、加法、減法の演算を内包したような得体の知れない
関数が突然定義される事に引っかかりを感じ、検討している
内に、この証明にちょっとした細工をすれば
 1+1=3
も"証明"できることを発見しました。

●f(n,m,m)=s(n)   ... ここに細工( s(n) <--n )
●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
そして
●+(n,m)=f(n,m,0)
と定義します。

 1+1=f(1,1,0)=f(2,1,1)=s(2)=3

 とは言え、私は安易に結論を急いだようで反省しています。
証明は不可能という私の主張は撤回したいと思います。
  • 回答No.8
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

No.8について注釈が必要と思い、追記します。  tgbさんが定義なさった"+"は普通の足し算ではない。普通で言えば、n+m+1という演算ですから、同じ"+"という記号を使うのは適当じゃないでしょう。  No.6の定義は、普通の意味での足し算を、どんな自然数についても正確に表しています。だから(1+2)+3 = 6だって証明できます。(この先、掛け算だって作 ...続きを読む
No.8について注釈が必要と思い、追記します。
 tgbさんが定義なさった"+"は普通の足し算ではない。普通で言えば、n+m+1という演算ですから、同じ"+"という記号を使うのは適当じゃないでしょう。

 No.6の定義は、普通の意味での足し算を、どんな自然数についても正確に表しています。だから(1+2)+3 = 6だって証明できます。(この先、掛け算だって作れるんだよ。)これは操作論的に数学の体系を構成する典型的な方法なんです。ゲーデルの不完全性定理の証明をきちんと書いた本なんか見ると、似たようなことをやっているのがお分かりになると思います。
 
 No.6でインチキしているのは、実は「自然数全体の集合」というものを構成するのを省いている所です。だってs(0), s(1), ....を続けていっても、いつまで経っても無限個の自然数は出来上がらない。自然数全体の集合を作るのは無限公理:「無限集合が存在する」を仮定して初めて可能になります。しかし、コンピュータで計算できるような数だけを問題にする数学の場合にはこれは必要ないんです。
  • 回答No.5
レベル9

ベストアンサー率 75% (28/37)

 私もhidearexさん(ANo.#1)が示されたHPを見させてもらい ましたが納得しました。やはり証明は出来ないと思います。  以下はこのHPに対する蛇足のようなもので、どこかで誤りや 不正確なところがあるかも知れませんが参考になればと思います。  1+1=2.....(1) を証明するためには ・1とは何か ・2とは何か ・+とは何か が定義されていなければなりませんが、1、2 ...続きを読む
 私もhidearexさん(ANo.#1)が示されたHPを見させてもらい
ましたが納得しました。やはり証明は出来ないと思います。
 以下はこのHPに対する蛇足のようなもので、どこかで誤りや
不正確なところがあるかも知れませんが参考になればと思います。

 1+1=2.....(1)
を証明するためには
・1とは何か
・2とは何か
・+とは何か
が定義されていなければなりませんが、1、2の定義と+の定義
とは関係しあっていると思います。(=の定義についてはここで
は考えないことにします。)
 つまり、(1)を使わないと「2」を定義できないのではないか
と思います。同様に、
・2+1=3、3+1=4、....  ....(2)
も証明不可能のように思えます。
・3+2=5
なら証明できるかも知れません。そのためにはおそらく
(2)で使用される「+」の定義に拡張を加えて行く必要が
あるでしょう。
 (+2が許されるかどうかは「+」の定義による。その上で
  4+1=5で定義される「5」と3+2で新たに作られる
  ものが一致するかどうかの検査を行えばこれが証明になる
  という意味で証明可能。

 定義や公理系の構成の仕方によっては(無理にそのようになる
ように工夫して公理系を構成することにより)(1)を証明する
ように出来ないとは言えないかも知れませんが、やはり不自然に
なるのではないでしょうか。
  • 回答No.4
レベル12

ベストアンサー率 46% (376/804)

えーと、1+1=2の証明はできます。 ただし、その証明は全部で大学ノート一冊分ぐらいになります。 と言いますのは、今からン十年ほど前に「数学基礎論」の講義を何年か連続して受講したことがあるのですが、ある年に半年かけて「1+1=2」の証明をやりました。基本的には、論理の公理系を設定してそこから演繹していきます。(厳密に言いますと初めの公理系の設定が一番大事なことであって、どのような公理系を作れば数の ...続きを読む
えーと、1+1=2の証明はできます。
ただし、その証明は全部で大学ノート一冊分ぐらいになります。

と言いますのは、今からン十年ほど前に「数学基礎論」の講義を何年か連続して受講したことがあるのですが、ある年に半年かけて「1+1=2」の証明をやりました。基本的には、論理の公理系を設定してそこから演繹していきます。(厳密に言いますと初めの公理系の設定が一番大事なことであって、どのような公理系を作れば数の演算を証明できるかというのが基礎論の授業の眼目です。)

なお、虚数はその定義からして、すでに「1+1=2」を利用していますから証明には使えません。(つまり、足し算の拡張としてかけ算があり、そのかけ算の一部として、何乗とか何乗根というのがあるわけです)

さらに蛇足ですがNO1の方の参考URLを拝見させていただきましたところ、そこでの議論はつっこみが不足しているような気がしました。作者についての情報がありませんので、なんとも言えませんが「数学」自体についてしっかり考えたことがあるとは思えない内容でした。
  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 25% (87/346)

こちらでは「証明できない」となっておりますが(汗 虚数はでてこなかったので、他に証明の方法があるのかも。。。 ご参考までにどうぞ。 ...続きを読む
こちらでは「証明できない」となっておりますが(汗

虚数はでてこなかったので、他に証明の方法があるのかも。。。

ご参考までにどうぞ。
  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 15% (594/3954)

そもそも、「2」とは何だと定義されているか、ということですね。 「1+1=2」を証明しようと思うならば、そのなかで「たしざん」「ひきざん」は一切使えないわけでしょう。とうぜん「かけざん」が使えるわけがないから、「虚数」をどうやって定義するか、まず、そこがひっかかります。
そもそも、「2」とは何だと定義されているか、ということですね。
「1+1=2」を証明しようと思うならば、そのなかで「たしざん」「ひきざん」は一切使えないわけでしょう。とうぜん「かけざん」が使えるわけがないから、「虚数」をどうやって定義するか、まず、そこがひっかかります。
  • 回答No.3
レベル6

ベストアンサー率 0% (0/0)

 虚数は使いませんが、自然数の構成について、ペアノの公理と呼ばれる公理系があります。それによる証明の拡張で整数を考えた場合のものではないでしょうか?   1の前者を0を考えて、 0+1=1、1+0=0+1、・・・・  とやっていくようなやつですが・・・・。    
 虚数は使いませんが、自然数の構成について、ペアノの公理と呼ばれる公理系があります。それによる証明の拡張で整数を考えた場合のものではないでしょうか?
  1の前者を0を考えて、 0+1=1、1+0=0+1、・・・・
 とやっていくようなやつですが・・・・。
   
  • 回答No.9
レベル9

ベストアンサー率 75% (28/37)

 質問者をさしおいての議論はマナー違反かも知れませんが、 お許し頂けるものとして話を進めたいと思います。  私は演算が本来の+演算かどうかは問題にしていません。 stomachmanさん自身、+(f)の演算を本来の演算と等価か どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。  もし「普通の意味での足し算を正確に表しているかどうか」 でどちらの証明が正しいかチェックするとしたら、 ...続きを読む
 質問者をさしおいての議論はマナー違反かも知れませんが、
お許し頂けるものとして話を進めたいと思います。

 私は演算が本来の+演算かどうかは問題にしていません。
stomachmanさん自身、+(f)の演算を本来の演算と等価か
どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。

 もし「普通の意味での足し算を正確に表しているかどうか」
でどちらの証明が正しいかチェックするとしたら、証明に頼
らず、電卓で計算したり隣の人に聞いたりして確認すること
になると思いますが、そんなことは数学における正当性の
根拠としては採用できません。
 もし計算能力は全くのゼロで数学的な見識はずば抜けて
いるある人が1+1=2か正しいかを証明する手だてを持ってい
なくて、且つ電卓も持っておらず、隣に人もいないとした
場合、その人が私の証明を見たら、1+1=3を確信するはず
(stomachman!さんの証明が正しい限り)であると言え
ないでしょうか。

 次のように考えられないのでしょうか?
「stomachmanさんが示したような方法で数学の体系を
 構成(1+1=2の証明は別にして)すると普通我々が
 当たり前と考えている加法や減法(本来の演算)に
 よくマッチする(数学的証明無し)ので、我々の日頃の
 算数を厳密に再構成したものとして安心して採用できる」

 このように考えるとf()=nを採用するかf()=s(n)を採用
 するかは全く選択の問題になると思います。
(従ってその場合は数学が進歩して不都合が起こればやっぱり
 やめたと言うことになるかも知れません)
  • 回答No.10
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

> 私は演算が本来の+演算かどうかは問題にしていません。 >stomachmanさん自身、+(f)の演算を本来の演算と等価か >どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。  仰るとおりです。公理論的に自然数とその足し算を定義しても、「普通の足し算」が厳密に定義されていないと比較のしようがない。ですから"+"をtgbさんのように定義すれば、「 ...続きを読む
> 私は演算が本来の+演算かどうかは問題にしていません。
>stomachmanさん自身、+(f)の演算を本来の演算と等価か
>どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。

 仰るとおりです。公理論的に自然数とその足し算を定義しても、「普通の足し算」が厳密に定義されていないと比較のしようがない。ですから"+"をtgbさんのように定義すれば、「普通の足し算」を知らない人が
1+1=3
を確信するのは全く正当です。ただ、ここまでは用語(あるいは記号)の問題、すなわち「何を足し算と呼ぶか」の違いに過ぎません。さらにtgbさんの定義された"+"を使って数学を構成していけない理由など何処にもない。(しかし、この演算は群にならないから扱いにくいです。)

 「普通の意味での自然数」や「普通の足し算」が理解されていて初めてstomachmanのf()だろうが、大学ノート一冊分だろうが、それが「普通の足し算」の形式化として相応しいかどうかが判断できるというのは、全くの正論です。そして、「普通の意味での自然数」や「普通の足し算」が定義されていないかと言いますと、そんなことはない。「普通の意味での自然数」はまさしくs(n)、つまり「ある自然数の次に来る自然数がある」という形で非形式的ながら定義されており、また「普通の足し算」は筆算であれそろばんであれ、数字の操作の規則という形で明確に定式化されています。したがって、stomachmanが提示した"+"が同じ規則に従うことを証明すれば、これは確かに「普通の足し算」であることが分かる。
 「普通の足し算」は、「足し算の九九」および10進表現(或いはそろばん玉による表現)における繰り上がりの規則で記述できます。ですから、証明するにはNo.6の定義だけでは不足で、それを10進表記(或いはそろばん玉で)表現する方法を構成しなくてはいけません。

 ともあれ「ま、感じだけ掴んで戴く」ための中途半端な説明であることはご理解戴きたい。必要最低限を記述するのなら大学ノート一冊までは必要ありませんし、数学基礎論の適当な参考書をご覧になれば良いでしょう。
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