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帰納法による証明
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b^k≧a^k 0≦a≦bよりb^k・b≧a^k・b≧a^k・a ∴b^k・b-a^k・a≧0 ∴b^(k+1)-a^(k+1)≧0 ∴b^(k+1)≧a^(k+1) この様にn=k+1の時も成り立つ。 以上を参考にして下さい。
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- yumisamisiidesu
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b^(k+1)-a^(k+1) = (b-a)(a^kb^0+a^(k-1)b^1+…+a^1b^(k-1)+a^0b^k) が成り立つと思いますが確認してません 一方 inductionを使いますが別の証明もあります. a^k<b^kのとき 0<a<bよりa^(k+1)=a(a^k)<a(b^k)<b(b^k)=b^(k+1)
仮定より、a^k≦b^kです 両辺にaをかけると a^(k＋1)≦ab^k ab^k=b^(k＋1)・a/bより a^(k＋1)≦ab^k はa^(k＋1)≦b^(k＋1)・a/bですが 書き換えると b/a・a^(k＋1)≦b^(k＋1)となり a^(k＋1)≦b/a・a^(k＋1)より a^(k＋1)≦b^(k＋1)
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