教えてください。

質問

中学３年生の「相似を使った図形の計量問題」で
つまづいて、すごく困っています。
周りに聞く人もいないので、誰か、教えてください。
よろしくお願いします。

(問題）
OA＝9ｃｍ、AB＝8ｃｍの正四角すいである。
辺OA、OB、OC、ODの中点をそれぞれ、P、Q、R、ｓとするとき
次の問いに答えよ。

（１）四角形PQRSの面積を求めよ。
（２）四角形ABCDを底面とする正四角すいO-ABCDの高さを求めよ。

（解答）
（１）四角形PQRSの面積は
四角形ABCDの面積の2分の1の2乗＝「4分の1」だから
8の2乗×4分の1＝16（平方センチメートル）

※ここで、わからなかったのは、どうして、2分の1とわかったので
しょうか？また、その2分の1を2乗し、さらに、8ｃｍまで2乗して
計算したのは、なぜでしょうか？

（２）頂点Oから底面の四角形ABCDに垂線OHをひくと
△OAHでOA=9ｃｍ、AH=4ルート2だから、三平方の定理により
OH=ルート49＝7（ｃｍ）

※AH=4ルート2というのは、どうやって求めるのでしょうか？
それさえ理解できれば、この問題はわかるのですが・・・。

たくさん、質問しちゃってごめんなさい。
試験まで、あと3週間になってしまい
少し、焦っています。
見にくい文章になってしまい、すみませんが
どうか、よろしくお願いします。

回答No.7

hestia · ベストアンサー

再び家庭教師のお兄さんです(^^;
さっそく回答へ…

（１）
>※ここで、わからなかったのは、どうして、2分の1とわかったので
>しょうか？また、その2分の1を2乗し、さらに、8ｃｍまで2乗して
>計算したのは、なぜでしょうか？

正四角錐の側面、「三角形ＯＡＢ」を考えてください。
ＯＡの中点にＰ、ＯＢの中点にＱがあるはずですよね。
ＰＱを線で結ぶと「中点連結定理」が使える形になりますよね？
よってＰＱ//ＡＢ、ＰＱ＝(２分の１)ＡＢ…(1)となるわけです。

次に三角形ＯＡＢと三角形ＯＰＱについて考えましょう。
点Ｐ，ＱはそれぞれＯＡとＯＢの中点ですから
ＯＰ＝（２分の１）ＯＡ…(2)，ＯＱ＝（２分の１）ＯＢ…(3)
ですね。(1)，(2)，(3)より三角形の三辺の長さの比がそれぞれ等しいので
三角形ＯＡＢ∽三角形ＯＰＱといえる、わけです。

同様に正四角錐ですから
三角形ＯＢＣ∽三角形ＯＱＲ，三角形ＯＣＤ∽三角形ＯＲＳ，三角形ＯＤＡ∽三角形ＯＳＰも言えます。
これで四角錐Ｏ－ＡＢＣＤと四角錐Ｏ－ＰＱＲＳは相似であることが納得していただけるでしょうか？
（立体の相似の証明を文章で正確にやるのはちょっと難しくって(苦))
よって底面の部分である四角形ＡＢＣＤと四角形ＰＱＲＳは相似ですよね。
線分の長さの比は２分の１、ということがわかるので
相似な図形の面積比は「線分比の２乗」で（４分の１）となるわけで、
四角形ＰＱＲＳの面積＝四角形ＡＢＣＤの面積×（（２分の１）の２乗）
というわけだったのです。
四角形ＡＢＣＤの面積は、一辺が８ｃｍですから８×８ですね。
（Ｏ－ＡＢＣＤが正四角錐ということですから、
　底面の四角形ＡＢＣＤは「正方形」になっています。
　つまり縦も横の長さも等しい）

（２）
>※AH=4ルート2というのは、どうやって求めるのでしょうか？
>それさえ理解できれば、この問題はわかるのですが・・・。

正四角錐の頂点Ｏから底面ＡＢＣＤに垂線を下ろすと
四角形ＡＢＣＤの中心に落ちてきます。
つまり点Ｈは四角形ＡＢＣＤの中心、対角線ＡＣの中点および対角線ＢＤの中点です。
（もちろん、四角形ＡＢＣＤは正方形だからです。）
三角形ＡＢＣを考えると点ＨはＡＣの中点ですから
ＡＨの長さはＡＣの半分のはずですね。
そこで三平方の定理より
（ＡＣの２乗）＝（ＡＢの２乗）＋（ＢＣの２乗）
　　　　　　　＝６４＋６４
　　　　　　　＝１２８
両辺ルートして
ＡＣ＝８ルート２
ですね。ＡＨはこれの半分、
ＡＨ＝（８ルート２）／２
　　＝４ルート２
となるわけです。
ああああーーー、長くなってしまいました。ごめんなちゃいm(_._)m

お礼

前回に続き、どうもありがとうございました。
とても、見やすく、わかりやすく、親切に教えてくれるので
助かりました。
特に、ほかの方の解答では見られなかった
↓の部分が助かりました。

>次に三角形ＯＡＢと三角形ＯＰＱについて考えましょう。
>点Ｐ，ＱはそれぞれＯＡとＯＢの中点ですから
>ＯＰ＝（２分の１）ＯＡ…(2)，ＯＱ＝（２分の１）ＯＢ…(3)
>ですね。(1)，(2)，(3)より三角形の三辺の長さの比がそれぞれ等しいので
>三角形ＯＡＢ∽三角形ＯＰＱといえる、わけです。

この部分は、私の持っている問題集の解答には
掲載されていないんです。
前に、答えも大切だけど、もっと大切なのは
その過程だと教えてもらってから
こういう部分をおろそかにせず
勉強することにしています。

（２）は、三平方の定理を使えば
以外に簡単に求めることが出来る問題なんですね。
図形には、たくさん時間をかけてますが
まだまだ、過去問が解けるとこまできてないので
もっと頑張って勉強しようと思っています。

独学で勉強していると
わからない問題にブチあたった時
すごく不安でしたが
ここでは、皆さんがわかりやすく丁寧に教えてくれるので
とても助かります。

また、質問するかもしれませんが
その時はよろしくお願いします。