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コンパスと定規で作図可能な角度
Umadaの回答
- Umada
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私も、No.1のnyontaさんのご回答と同じ意見です。 任意の角度をつくり出す操作は、本質的に「正n角形をコンパスと定規で作図できるか」という問題に帰着します。 正n角形を描ければ(360/n)°なる角度を作りだせることになります。 正n角形をコンパスと定規だけで作図する場合、作図可能なのは特定の角度に限られます(詳細は参考URLをご覧下さい)。 n=3, 5, 17, 257,..... および、その2^k乗倍のみです。(ここでkは自然数。角の二等分は任意にできますから、正n角形が描ければ正n×2^k角形も描ける道理です) 360は17や257(さらに、それ以上)では割り切れませんので、出発点はn=3,5だけ考えれば良く、 正三角形、正六角形、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形・・・ 正五角形、正十角形、正二十角形、正四十角形、正八十角形・・・ だけを吟味することになります。角度が整数になるという条件では 正三角形、正六角形、正十二角形、正二十四角形 正五角形、正十角形、正二十角形、正四十角形 の8種類のみです。作られる角度は120°、60°、30°、15°、72°、36°、9°です。 さらにそれぞれの和、差、およびそのまた半分は作れますが、いずれも3の倍数ですからどう組み合わせても3°より小さい角は作れません。一方、3°は例えば、15°-9°を作って、半分の角を作れば実現します。 3°より小さい角は作れず、一方3°を作る方法は少なくとも一つ存在しますから、答えは3°およびその倍数ということになります。 1°がもし任意に作りだせるなら正360角形が定規とコンパスで作図できることになりますが、参考URLにあるようにそれはGaussによって「できない」とされています。従って1°は作図できません。2°ももしできたなら、半分の1°が作図できることになってしまいますから矛盾です。 やはり、最低は3°からということになります。 *直角を90°と定義したことに数学的必然性がないので(100°と定義しようが120°と定義しようが全く自由)、「整数の角度」と限定することに大した数学的な意味はありません。 「正十七角形」 http://www.nikonet.or.jp/spring/mat_1993/mat46.htm
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