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0? 0でない?
例えば、 y=(a^t)*sint (a:定数, t:実数全体) という関数があったとすると、y=0になるのはsintが0になる、 t=0、Π、2Π、3Π、… だと思うんですが(違ってないですよね?)、 t=-∞ のとき a^tが0になるのでsintが何であっても y=0になるのか、lim(t→∞)a^t は0に限りなく近づくだけなので0でないから y=0になるのはt=nΠ なのか、どっちなのでしょう(僕は後だと思うんですけど…)? また、人に説明するとき(証明?)、どうすればいいですか?
- j_takoyaking-man
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>t→-∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね? …はぁ? t→-∞の場合とt=±nΠ(n=0,1,2,…)の場合とは別の話ですが… > lim(t→∞)f(t)=∞ >というのは、 >「tを限りなく大きくしていった場合、f(t)は限りなく大きくなる」 >ということを略記しているだけです。 というのを勘違いされたかなぁ… 繰り返しになりますが、lim(t→∞)f(t)というのは「tを限りなく大きくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号ですし、lim(t→-∞)f(t)というのは「tを限りなく小さくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号です。 また、∞が論文の式の中に登場した場合は、「限りなく大ききなる」ということを略記しているだけです。 まず、質問文の記述から、|a|>1と推測します。このとき、 lim(t→-∞)a^t=0 となります。しかしだからといって、 a^(-∞)=0 と書いてはいけませんし、そもそも-∞という「数」はありません。 この問題の場合、y=(a^t)*sin tはa^tの部分が絶対0にならないためsin tが0となるt=±nΠ(n=0,1,2,…)の時のみy=0となります。 …っていかん、y=0を満たすtが実数全体となるパターンがありました。 それは、a=0のときです。 つまり、問題の答は正しくは、 a≠0の時、t=±nΠ(n=0,1,2,…)、 a=0の時、tは任意の実数 でした。 余談になりますが、 lim(t→-∞)y の値は|a|>1またはa=0の時に0になります。 0<a<1の時はlim(t→-∞)y=∞となり、 -1≦a<0またはa=1の時はlim(t→-∞)yは定まりません。
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- sssohei
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lim(t→∞)a^t sin(t) は0です。 sin は-1~1の範囲しか取りません。 ところが、j_takoyaking-manさんのおっしゃられるとおり、lim(t→∞)a^t → 0なので、0となるはずです。 「定数がかかっているのと同じ」ととって問題ないと思います。 厳密な話は忘れました^^; >t→-∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね 「t=-∞」というのは普通の数学では扱わないので、t=±nΠ(n=0,1,2,…)となると思います。
お礼
ありがとうございました。
- hitomura
- ベストアンサー率48% (325/664)
>t=-∞ のとき と書かれていますが、∞という数はありません。 lim(t→∞)f(t)というのは「tを限りなく大きくしていった場合f(t)の値はどうなるか」を表す記号です。 lim(t→∞)f(t)=∞ というのは、「tを限りなく大きくしていった場合、f(t)は限りなく大きくなる」ということを略記しているだけです。 (-∞もその向きが負なだけで言ってることは変わりません) したがって、t=-∞という「数」を考えるのはナンセンスです。 なお、この問題の答えは、 t=±nπ(n=0,1,2,…) となります。
お礼
ありがとうございます. すみません、間違えました.t=-∞ではなくてt→-∞です. t→-∞の場合もt=±nΠ(n=0,1,2,…)でいいんですね?
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お礼
すみませんでした、理解しました。 ありがとうございました。