OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
締切り
済み

(積分で?)長さを求める問題

  • すぐに回答を!
  • 質問No.206072
  • 閲覧数72
  • ありがとう数3
  • 気になる数0
  • 回答数3
  • コメント数0

お礼率 67% (19/28)

空間座標で t を媒介変数として x=acost , y=asint , z=(ht)/(2Π) で与えられる曲線が Πah=c(定数) の関係をもつとき
(1) 0 <=(小なりイコール) t <= 2Π のときのこの長さの最小値をcで表せ.
(2) このときのaとhの関係を求めよ.

という問題で、答えが (1)2√c (2)2Πa=h と書いてあるんですけど、解き方が分かりません(最小値の意味も…). (2)は 相加平均 >= 相乗平均 を使うらしいです.
高校生で理解できる範囲でお願いします(数3(?)含)
通報する
  • 回答数3
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

(1)空間での曲線の長さの公式は平面のときの拡張で、 L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}です。 この問題ではが) 0≦t≦2Πが積分範囲をあらわしている。あとはご自分で考えてね。 (2)(1)で出したL=f(c)に、c=Πahを代入して検討する。 あとはご自分で考えてお礼に答えを書くこと。相加相乗平均の不等式を使うかどうか ...続きを読む
(1)空間での曲線の長さの公式は平面のときの拡張で、
L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}です。

この問題ではが) 0≦t≦2Πが積分範囲をあらわしている。あとはご自分で考えてね。

(2)(1)で出したL=f(c)に、c=Πahを代入して検討する。

あとはご自分で考えてお礼に答えを書くこと。相加相乗平均の不等式を使うかどうかはそれから。
お礼コメント
j_takoyaking-man

お礼率 67% (19/28)

ありがとうございます.
投稿日時 - 2002-01-27 06:55:11


  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 26% (324/1203)

これがどんなグラフになるかわかりますか? x^2+y^2=a^2 別に思いつかなくてもいいですけど、z軸を中心に、半径aでらせん状にぐるぐるとなるグラフです(tの条件がない場合)。イメージ湧きました? では、KaitoTVGAMEKOZOUさんのアドバイスにしたがって、頑張ってくださいね。 ...続きを読む
これがどんなグラフになるかわかりますか?
x^2+y^2=a^2
別に思いつかなくてもいいですけど、z軸を中心に、半径aでらせん状にぐるぐるとなるグラフです(tの条件がない場合)。イメージ湧きました?

では、KaitoTVGAMEKOZOUさんのアドバイスにしたがって、頑張ってくださいね。
お礼コメント
j_takoyaking-man

お礼率 67% (19/28)

はい.ありがとうございます
投稿日時 - 2002-01-27 06:56:36
  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 22% (13/58)

おおっとちょっと訂正。 L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2} に最後にdtをつけて、 L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt としてください。証明は平面のときと同じように出来ます。 では証明しよう。速度ベクトルを使う方法が多勢だがここでは簡単に長さから直接やる。 ...続きを読む
おおっとちょっと訂正。
L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2} に最後にdtをつけて、


L=∫(from a to b )√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt としてください。証明は平面のときと同じように出来ます。

では証明しよう。速度ベクトルを使う方法が多勢だがここでは簡単に長さから直接やる。
曲線C:x=f(t),y=g(t),z=g(t) の区間a≦t≦bの長さをLとする。
C上の点P(x,y,z)が微少量(Δx,Δy,Δz)だけ移動して点P’となったとする。
∴ΔL=√{(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2}    (∵三平方の定理)
⇔ΔL=√{(Δx/Δt)^2+(Δy/Δt)^2+(Δz/Δt)^2} Δt  
→dL=√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt (Δt→0)

よって、
∫(from a to b) dL 
=∫(from a to b)√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt 
 

以上じゃ!
補足コメント
j_takoyaking-man

お礼率 67% (19/28)

おぉ、証明まで….有難うございます
∫(0~2Π)√{a^2 (sint)^2 + a^2 (cost)^2 + h^2/4Π^2}dt
=∫(0~2Π)√[a^2{(sint)^2+(cost)^2}+h^2/4Π^2]dt
=∫(0~2Π)√(a^2*1 + h^2/4Π^2)dt
=√(a^2 + h^2/4Π^2)∫(0~2Π)1dt
=2Π√(a^2 + h^2/4Π^2)
=2√(Π^2 a^2 + h^2/4)
となったので、 Πah=c をいろいろ変形して代入してみたんですけど、2√cにならないんです.
どこに問題があるのでしょうか?
投稿日時 - 2002-01-27 07:16:50
このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ