何でＢは軸性ベクトルでＥは極性ベクトルなの？

質問

砂川の本にＢは軸性ベクトルでＥは極性ベクトルと書いてありますが
何でＢは軸性ベクトルなのかを書いていません

何でＢは軸性ベクトルなのでしょうか？
何でＥは極性ベクトルなのでしょうか？

よろしくお願いします

回答No.3

siegmund

hagiwara_m さん：
> パリティ変換は、対称面の選び方が複数あるという煩わしさを伴わないので、
> 数学的な扱いが、鏡映の場合よりむしろすっきりするようです。

私もそう思います．
hagiwara_m さんの例の，x-z面を対称面にしたとき (x,y,z)→(x,-y,z) となる鏡映変換ですと，
例えば(0,2,0) という位置ベクトルは
(0,-2,0) と変換されて符号が変わり具合がいいのですが，
(2,0,0)ですと(2,0,0)に変換されて同じになってしまいます．
もちろん，ベクトルの方向と垂直な面を鏡映面に選ばないといけないわけで，
(2,0,0) に対しては y-z 面が鏡映面になります．
(1,2,3) だったら，もっと複雑な鏡映面になります．

これに対して，空間反転 (x,y,z)→(-x,-y,-z) で話をすると，
ベクトルによって鏡映面を変えるような煩わしさはありません．
空間反転で符号を変えるベクトルが極性ベクトル，符号を変えないのが軸性ベクトルです．

やはり位置ベクトルが基本で，hagiwara_m さんが書かれているように
速度，加速度，力，電流，クーロン電場，
とたどってゆけばこれらは位置ベクトルと同じ変換性を持っていることがわかるでしょう．

一方，磁場はループ電流などからわかりますように，

　┌──＞──┐
　│　　　　　│
　│　　　　　│
　∧　　×　　∨
　│　　　　　│
　│　　　　　│
　└──＜──┘

の時にループ電流内部の磁場を面に垂直向こう向き(×印)とするのは
自動的に決まるわけではなく，
右ねじ関係といういわば約束によるものです．
こういう類の量は軸性ベクトルです．

力学での軸性ベクトルの代表は角運動量です．
回転運動に対して，それを特徴づける量を軸方向のベクトルにするのは
なかなかうまい方法ですが，そう選ばないといけない必然性
(位置ベクトル，速度ベクトルみたいな)があるわけではありません．
こういう意味で，軸性ベクトルは本来の自然的ベクトルではないので
「擬ベクトル」ということもあります．

角運動量のベクトルの成分は
L_x = y v_z - z v_y = y(dz/dt) - z(dy/dt)
ですから，空間反転に対して符号を変えないのは明らかでしょう．

補足

もし軸性ベクトルが嘘のベクトルであって人工的に決めたベクトルであるなら
ｒ≡（ｘ，ｙ，ｚ）としｒ’≡（ｘ’，ｙ’，ｚ’）としｒ’＝－ｒとして
Ｂ’（ｒ’，ｔ）＝－Ｂ（ｒ，ｔ）と決めた場合どんな不都合がありますか？

Ｂ’（ｒ’，ｔ）＝Ｂ（ｒ，ｔ）は約束事であって本質的なことではないと言うことですね？

よろしくお願いします