A集合とB集合の距離が0ではないことの証明
- A集合がコンパクトで、Bが閉集合であり、AとBの共通部分が空集合である場合、A集合とB集合の距離は0ではないことを証明します。
- まず、Bが有界である場合、A集合とB集合の共通部分が空集合であるため、距離は0ではありません。
- 次に、Bが有界でない場合、A集合とB集合を表す数列AkとBkが存在し、Akが点aに収束するとします。A集合が有界であるため、||Ak||≤M（M>0）が成り立ちます。また、B集合はA集合との共通部分が無く、有界でもないため、||Bk||>Mが成り立ちます。そして、||Ak-Bk||=||Bk-Ak||>||Bk||-||Ak||>0となります。よって、A集合とB集合の距離は0ではないことが証明されます。
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以下の証明を考えています。
Ａ集合がコンパクト（Compact)で、Ｂが閉集合であり、ＡとＢの共通部分が空集合であるとする。点aはＡ集合、bはＢ集合に属する。このとき、 d(A, B) = ||a-b|| >0 であることを証明せよという問題です。 まず第一にＢが有界である時は、ＡとＢの共通部分が空集合であるから明らかに両者の距離は０ではないとしました。 第二のＢが有界でないときの証明でご意見をお伺いしたいのです。 Ａ集合（Ｂ集合）のある数列Ak（Bk)が、kが無限に近づくにつれて点a(点b)に近づくとします。すると、Ａ集合が有界であることから、 ||Ak||< or = M for some M>0 が言え、またＢ集合はＡ集合との共通部分が無く、有界でもないことから ||Bk||>M が言えるとし、 ||Ak-Bk||=||Bk-Ak||>||Bk||-||Ak||>0 としたんですが、これにはかなり無理があるように思えます。どなたかご教授ください。よろしくお願いします。
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＃コメントつかないですね。。。 ええっと，まず，問題の情報が不足なんです おそらく，n次元ユークリッド空間を ふつうの距離（二乗和のルート）で距離空間と みなして，そこで考えてるんですよね それから d(A,B)の定義は ||a-b|| ではなくて aをAの中で，bをBの中で動かしたときの 下限ですよね？ 上記のような推測のもとで考えると 残念ながら証明は間違ってます Bがともに有界で，共通部分が空でも d(A,B)が0になることはあります． 一次元で考えて A={0} B=(0,1]なんかだとd(A,B)=0です 閉だという条件がポイントなんです． 話を簡単にするために Aは一点（一般性を失わずに原点Oとできます） Bは閉集合とします． このとき， d(A,B)=\inf_{bはBの要素} ||b|| とおけます． したがって，Bの点列{b_k}で k -> ∞ のとき，||b_k|| -> d となるものが とれます． このとき，必要ならば{b_k}の部分列をとることにして {b_k}は収束すると仮定します． ＃ここで集積点の存在を使ってますが ＃（ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理） ＃Bは有界とは限りません．しかし， ＃||b_k|| -> d なので ＃{b_k}が存在する領域は有界ですので，OKです さて，Bは「閉集合」なので， {b_k}の収束先をβとするとβはBの点です そして，AとBは共通部分を持たないので βはAの点（つまり原点）ではないので d(A,B)=||β|| > 0 今はAを一点と仮定しましたが Aをコンパクトとしても同様だと思います コンパクトまではいらないようにも思いますが 深くは考えてません ＃一般の距離空間でもOKなような気もします
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