• 締切済み

群数列についての証明

第k群までの項をすべて順に並べた数列を、 c1,c2,c3.......,cn 　とする。 この群数列は次の条件を満たしている。 　項はすべて自然数 　nは第k群までの項の総数 　第k群を有限数列と考えたとき、初項はak,末項はbk　(特にbk=cn) 　第1群の項は自然数aである。(a1=b1=a) 　第1群から第k群までに現れない自然数の中で最小のものが第(k+1)群の 　　　初項a k+1 　第(k+1)群の第2項以降は 　　　c1+a k+1, c2+a k+1, ....... ,cn+a k+1 (1) a k+1≦bk +1 を証明せよ(k=1,2,3,......) (2)　2ak≦a k+1 　　を証明せよ(k=1,2,3,......)

みんなの回答

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.4

(2)がもし、2a(k)≦a(k+1) (k=2,3,4,・・・・)　の証明なら、 a(k)=1　のときは、a(k+1)≧2=2a(k)　なので成立 a(k)＞1　のときは、a(k)の決め方から、第1群から第(k-1)群までには1～a(k)-1の自然数が含まれている。 よって、第k群には、a(k),a(k)+1,a(k)+2,・・・・,a(k)+a(k)-1の自然数が含まれる。 従って、第1群から第k群までには、1～2a(k)-1の自然数が含まれることになるので、a(k+1)≧2a(k)

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.3

(1)の証明は、 c(1),c(2),c(3),・・・・,c(n)の中でc(n)が最大であることを示せばいいでしょう。（帰納法で証明は容易） それば示されれば、 c(1),c(2),c(3),・・・・,c(n)が1～c(n)の自然数をすべて含んでいる場合は、a(k+1)=c(n)+1=b(k)+1 含んでいないものがある場合は、a(k+1)＜c(n)=b(k) なので、どちらの場合も、a(k+1)≦b(k)+1 (2)は何か条件が違っているのでは？

riku061128
質問者

補足

すみません。 (2)は 　2ak≦a k+1 　　を証明せよ(k=,2,3,......) の間違えでした。 (1)についての証明も念のために教えていただけませんか?

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.2

こんばんわ。 下付きの数字（添え字）がわかりにくいのですが・・・ たとえば、数列の項を a_n, a_(n+1)や a(n), a(n+1)のような 形で表してもらえませんでしょうか。 a, b, cの後ろはすべて添え字ですか？

riku061128
質問者

補足

わかりにくくてすみません。 第k群までの項をすべて順に並べた数列を、 c(1,)c(2),c(3).......,c(n) 　とする。 この群数列は次の条件を満たしている。 項はすべて自然数 　nは第k群までの項の総数 　第k群を有限数列と考えたとき、初項はa(k),末項はb(k)　(特にb(k)=c(n)) 　第1群の項は自然数aである。(a(1)=b(1)=a) 　第1群から第k群までに現れない自然数の中で最小のものが第(k+1)群の 　　　初項a( k+1) 　第(k+1)群の第2項以降は 　　　c(1)+a( k+1), c(2)+a( k+1), ....... ,c(n)+a( k+1) (1) a( k+1)≦b(k) +1 を証明せよ(k=1,2,3,......) (2)　2a(k)≦a( k+1) 　　を証明せよ(k=1,2,3,......)

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

＞第1群の項は自然数aである。(a1=b1=a) a1=a=2とすると、a2=1（第1群に現れない自然数の中で最小のもの）となって、2a1≦a2は成立しませんが・・・

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